Um objeto de massa
é arrastado ao longo de um plano horizontal por uma força
atuando ao longo de uma corda amarrada ao objeto. Se a corda forma um ângulo
com o plano então a intensidade da força é,
sendo
e
e
constantes positivas. Mostre por meio do cálculo que
quando
for mínima.
Passo 1
Vamos lá! A gente tem um exercício que envolve física e um pouquinho de cálculo. O enunciado fala sobre um objeto de massa
sendo puxado por uma força
ao longo de um plano horizontal. A força está aplicada numa corda que faz um ângulo
com o plano. A expressão da força é dada por:
Onde
é o coeficiente de atrito e
é a aceleração da gravidade. Queremos mostrar que, para que a força
seja mínima, o coeficiente de atrito
deve ser igual a
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa minimizar a força
. Para encontrar o mínimo de uma função, geralmente usamos cálculo: derivamos a função em relação à variável de interesse (neste caso,
) e igualamos a derivada a zero para encontrar os pontos críticos.
Passo 3
Vamos começar derivando a expressão de
em relação a
. A função que vamos derivar é:
Para facilitar, podemos reescrever isso como:
Passo 4
Agora, vamos derivar
em relação a
. Usaremos a regra da derivada do quociente, que para
, a derivada é
. Assim:
Simplificando:
Passo 5
Para encontrar o mínimo, igualamos a derivada a zero:
Como
,
e
são constantes positivas, o numerador deve ser zero:
Passo 6
Vamos resolver a equação:
Dividindo ambos os lados por
(lembrando que
para
):
Resposta
Portanto, para que a força
seja mínima, o coeficiente de atrito
deve ser igual a
.