Um objeto de massa m é arrastado ao longo de um plano horizontal por uma força F atuando ao longo de uma corda amarrada ao objeto. Se a corda forma um ângulo theta com o plano então a intensidade da força é,
F = (mu * m * g) / (mu * sen(theta) + cos(theta))
sendo 0 <= θ <= pi/2 e mu e g constantes positivas. Mostre por meio do cálculo que mu = tan(theta) quando F for mínima.

Passo 1

Vamos lá! A gente tem um exercício que envolve física e um pouquinho de cálculo. O enunciado fala sobre um objeto de massa sendo puxado por uma força ao longo de um plano horizontal. A força está aplicada numa corda que faz um ângulo com o plano. A expressão da força é dada por:
Onde é o coeficiente de atrito e é a aceleração da gravidade. Queremos mostrar que, para que a força seja mínima, o coeficiente de atrito deve ser igual a .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa minimizar a força . Para encontrar o mínimo de uma função, geralmente usamos cálculo: derivamos a função em relação à variável de interesse (neste caso, ) e igualamos a derivada a zero para encontrar os pontos críticos.

Passo 3

Vamos começar derivando a expressão de em relação a . A função que vamos derivar é:
Para facilitar, podemos reescrever isso como:

Passo 4

Agora, vamos derivar em relação a . Usaremos a regra da derivada do quociente, que para , a derivada é . Assim:
Simplificando:

Passo 5

Para encontrar o mínimo, igualamos a derivada a zero:
Como , e são constantes positivas, o numerador deve ser zero:

Passo 6

Vamos resolver a equação:
Dividindo ambos os lados por (lembrando que para ):

Resposta

Portanto, para que a força seja mínima, o coeficiente de atrito deve ser igual a .

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