Calcule os seguintes limites laterais e no infinito: lim x -2^- x^2+3 xx^2-4

Passo 1

Então, vamos lá! Temos que calcular o limite lateral de uma função quando lim x -2^- x^2+3 xx^2-4 se aproxima de -2 pela esquerda. A função é:
Aqui, estamos lidando com limites laterais e funções racionais. Para resolver isso, vamos precisar entender como analisar o comportamento da função perto do ponto de interesse e verificar como o numerador e o denominador se comportam quando se aproxima de -2 pela esquerda.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na função e identificar se há algum ponto que cause problemas, como divisão por zero. O denominador é x^2 - 4 = 0 implies x^2 = 4 implies x = pm 2 . Vamos resolver para ver quando ele é zero:
Então, e são pontos onde o denominador é zero. Nosso limite está em , então precisamos prestar atenção nesse ponto.

Passo 3

Agora, vamos tentar simplificar a fração fatorando o numerador e o denominador, se possível.
Numerador:
x^2 + 3x = x(x + 3)
Denominador:
x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)
Então, a função fica:
x(x + 3)(x - 2)(x + 2)

Passo 4

Vamos analisar o comportamento da função quando -2.1 times (-2.1 + 3) = -2.1 times 0.9 = -1.89 se aproxima de -2 pela esquerda ( ).
  1. Numerador:
    • Quando está próximo de -2, digamos :
    • O numerador está próximo de -2.
  2. Denominador:
    • Quando se aproxima de -2 pela esquerda, é um número muito pequeno e negativo.
    • será aproximadamente .
    • Portanto, o denominador é o produto de dois números negativos, o que dá um número positivo muito próximo de zero.

Passo 5

Agora, juntando as informações:
  • O numerador está se aproximando de -2.
  • O denominador está se aproximando de 0 por valores positivos.
Então, temos uma fração onde o numerador é negativo e o denominador é um número positivo que está ficando cada vez menor. Isso significa que a fração inteira está se aproximando de .

Resposta

lim x -2^- x^2+3 xx^2-4 = -infty

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