Calcule os seguintes limites: lim x 1 x^5-1x-1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão é:
limx 1 x^5-1x-1
Aqui, estamos trabalhando com limites, que é um conceito fundamental no cálculo para entender o comportamento de funções perto de certos pontos. Para resolver isso, vamos precisar fatorar o numerador e simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, olha só o numerador: x^n - 1 = (x - 1)(x^n-1 + x^n-2 + dots + x + 1) . Isso é uma diferença de potências, e tem uma fórmula especial para fatorar. A fórmula geral é:
x^5 - 1 = (x - 1)(x^4 + x^3 + x^2 + x + 1)
No nosso caso, , então podemos escrever:

Passo 3

Agora que fatoramos o numerador, vamos substituir na expressão original:
x^5-1x-1 = (x - 1)(x^4 + x^3 + x^2 + x + 1)x - 1
Vemos que o termo (x - 1)(x^4 + x^3 + x^2 + x + 1)x - 1 = x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 aparece tanto no numerador quanto no denominador. Podemos cancelar esse termo:

Passo 4

Agora que simplificamos a expressão, podemos calcular o limite substituindo x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 quando x = 1 por 1:
1^4 + 1^3 + 1^2 + 1 + 1 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 5
Substituindo:

Resposta

O limite é igual a 5.

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