Seja f uma função de R em R, tal que f(x)=x^2. Calcule o limite em cada caso: lim x 2 f(x)-f(2)x-2

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma função e queremos calcular o limite quando se aproxima de 2 da expressão . Isso está ligado ao estudo de limites, uma parte fundamental do cálculo diferencial. Para resolver, vamos precisar entender como simplificar expressões e aplicar o conceito de limite.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir f(x) - f(2)x - 2 = x^2 - 2^2x - 2 = x^2 - 4x - 2 e na expressão:

Passo 3

Agora, observamos que o numerador x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2) é uma diferença de quadrados, que pode ser fatorada usando a fórmula . Aplicando isso:

Passo 4

Substituímos de volta na expressão original:
(x - 2)(x + 2)x - 2
Perceba que (x - 2)(x + 2)x - 2 = x + 2 está no numerador e no denominador, então podemos simplificar, desde que (o que é válido ao calcular o limite):

Passo 5

Agora, a expressão ficou bem mais simples: limx to 2 (x + 2) = 2 + 2 = 4 . Para encontrar o limite quando se aproxima de 2, substituímos diretamente:

Resposta

O limite é igual a 4.

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lim De