Seja f uma função de R em R, tal que f(x)=x^2. Calcule o limite em cada caso: lim x 1 f(x)-f(1)x-1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para calcularmos o limite de f(x) - f(1)x - 1 quando x se aproxima de 1, onde a função f(x) é igual a x^2. Isso faz parte do estudo de limites em cálculo. Para resolver, vamos precisar manipular a expressão algébrica e entender como os limites funcionam.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir a função f(x) pela sua expressão x^2. Além disso, calculamos f(1), que é 1^2 = 1. Assim, a expressão do limite fica:
limx to 1 x^2 - 1x - 1

Passo 3

Agora, olhamos para o numerador x^2 - 1. Esse é um caso típico de uma diferença de quadrados, que tem uma fórmula especial para fatorar.

Passo 4

Vamos fatorar o numerador usando a identidade a^2 - b^2 = (a - b)(a + b). Aqui, a = x e b = 1, então:
x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)

Passo 5

Substituímos a fatoração na expressão original do limite:
limx to 1 (x - 1)(x + 1)x - 1
Observe que temos (x - 1) no numerador e no denominador, então podemos simplificar cancelando esses termos:
limx to 1 (x + 1)

Passo 6

Agora, como a expressão ficou mais simples, podemos calcular o limite substituindo x por 1:
1 + 1 = 2

Resposta

O limite é igual a 2.

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