Resolva as indeterminações abaixo usando a Regra de L lim x +infty x^2-1e^x^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o limite quando tende ao infinito da função . A matéria envolvida aqui é cálculo de limites, mais especificamente, o uso da Regra de L’Hôpital para resolver formas indeterminadas. Para resolver isso, precisamos identificar se o limite resulta em uma forma indeterminada como ou , e então aplicar a regra para simplificar.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o comportamento do numerador e do denominador quando vai para :
  • Numerador: cresce sem limites, ou seja, tende a .
  • Denominador: também cresce ainda mais rápido, tendendo a .
Então, temos uma forma do tipo , que é uma indeterminação e podemos aplicar a Regra de L’Hôpital.

Passo 3

A Regra de L’Hôpital nos diz que se temos um limite do tipo limx to a f(x)g(x) = limx to a f'(x)g'(x) que resulta em ou , então podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e recalcular o limite:
Desde que o novo limite exista ou seja determinável.

Passo 4

Vamos aplicar a Regra de L’Hôpital:
  • Derivada do numerador f'(x) = 2x :
    g'(x) = e^x^2 cdot 2x
  • Derivada do denominador limx to +infty 2x2x cdot e^x^2 = limx to +infty 1e^x^2 :
Então, nosso novo limite fica:

Passo 5

Agora, precisamos calcular:
limx to +infty 1e^x^2
Sabemos que cresce extremamente rápido para , então vai tender a zero.

Resposta

O limite quando tende a de é 0.

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