Calcule os seguintes limites: lim alpha 0(tan alpha sec (2 alpha)3 alpha)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o limite quando se aproxima de 0 da expressão . Estamos lidando com cálculo de limites aqui, e vamos usar um pouco de trigonometria e propriedades de limites para resolver isso. Vamos precisar lembrar que, quando o ângulo é bem pequeno, funções trigonométricas como a tangente e a secante se comportam de maneira simplificada.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar tan alpha approx alpha . Sabemos que, para próximo de 0, pode ser aproximada por mesmo. Isso porque quando é muito pequeno. Então, podemos substituir:

Passo 3

Agora, vamos olhar para sec (2 alpha) = 1cos (2 alpha) approx 11 = 1 . A função secante é o inverso do cosseno, ou seja, . Para próximo de 0, está muito perto de 1, então:

Passo 4

Com essas aproximações, nossa expressão original fica assim:
tan alpha cdot sec (2 alpha)3 alpha approx alpha cdot 13 alpha = alpha3 alpha
Aqui, o no numerador e no denominador se cancelam.

Passo 5

Simplificando a fração, temos:
alpha3 alpha = 13

Resposta

Portanto, o limite é .

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