Calcule os seguintes limites:
Passo 1
Vamos calcular o limite
. Esse problema está relacionado ao estudo de limites em cálculo, e para resolvê-lo, vamos precisar utilizar o Teorema do Apreçamento (também conhecido como Teorema do Sanduíche).
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o comportamento de cada parte da expressão quando
se aproxima de 2. O termo
tende a 0. Já
tende ao infinito, o que faz com que
oscile entre -1 e 1.
Passo 3
Sabemos que o cosseno de qualquer número está sempre entre -1 e 1. Ou seja:
Passo 4
Agora, vamos multiplicar todos os lados dessa desigualdade por
. Como
está se aproximando de 2, e portanto
está se aproximando de 0 (positivamente ou negativamente), temos:
Ou, usando valor absoluto:
Passo 5
Segundo o Teorema do Apreçamento, se uma função está limitada entre duas funções que tendem ao mesmo limite, então a função intermediária também tende a esse limite. Sabemos que
tende a 0 quando
. Portanto:
Logo, pelo teorema:
Resposta
O limite é 0.