Calcule os seguintes limites:

Passo 1

Vamos calcular o limite . Esse problema está relacionado ao estudo de limites em cálculo, e para resolvê-lo, vamos precisar utilizar o Teorema do Apreçamento (também conhecido como Teorema do Sanduíche).

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o comportamento de cada parte da expressão quando se aproxima de 2. O termo tende a 0. Já tende ao infinito, o que faz com que oscile entre -1 e 1.

Passo 3

Sabemos que o cosseno de qualquer número está sempre entre -1 e 1. Ou seja:

Passo 4

Agora, vamos multiplicar todos os lados dessa desigualdade por . Como está se aproximando de 2, e portanto está se aproximando de 0 (positivamente ou negativamente), temos:
Ou, usando valor absoluto:

Passo 5

Segundo o Teorema do Apreçamento, se uma função está limitada entre duas funções que tendem ao mesmo limite, então a função intermediária também tende a esse limite. Sabemos que tende a 0 quando . Portanto:
Logo, pelo teorema:

Resposta

O limite é 0.

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Seja Determine, se possível, os limites indicados abaixo: