Calcule os seguintes limites: lim theta 0(tan (8 theta)4 theta)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: . Esse exercício envolve conceitos de limites e funções trigonométricas, especificamente o limite fundamental . Vamos precisar entender como aplicar essa regra para resolver o problema.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que lim theta 0(tan (8 theta)4 theta) = lim theta 0(sin(8theta)4theta cos(8theta)) pode ser escrita como . Então, podemos reescrever o limite da seguinte forma:

Passo 3

Agora, vamos separar os termos para facilitar:
lim theta 0(sin(8theta)8theta cdot 84 cos(8theta))
Aqui, multiplicamos e dividimos por 8 para ajustar a expressão , que se aproxima de 1 quando tende a 0.

Passo 4

Sabemos que lim theta 0 sin(8theta)8theta = 1 , então aplicando isso:
E também, .

Passo 5

Agora, substituímos esses limites na expressão original:
1 cdot 84 cdot 1 = 84 = 2

Resposta

O limite é igual a 2.

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