Calcule os seguintes limites: lim theta 0(sin (2 theta)5 theta)

Passo 1

Então, a gente precisa calcular o limite . Esse problema está relacionado com limites em funções trigonométricas. Para resolver, vamos usar algumas propriedades de limites básicos e identidades trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de um limite fundamental: . Esse limite é super útil quando estamos lidando com funções trigonométricas, especialmente o seno.

Passo 3

No nosso caso, temos no numerador e no denominador. Para aplicar o limite conhecido, precisamos manipular a expressão para que ela se pareça com .

Passo 4

Vamos reescrever a expressão:
sin(2theta)5theta = 2sin(2theta)10theta
Isso é só uma forma de facilitar a aplicação do limite conhecido.

Passo 5

Agora, observe que podemos separar os termos:
2sin(2theta)10theta = 210 cdot sin(2theta)2theta = 15 cdot sin(2theta)2theta

Passo 6

Aí, a gente usa o limite fundamental que mencionamos antes:
limtheta 0 sin(2theta)2theta = 1

Passo 7

Substituindo de volta na expressão original:
limtheta 0 sin(2theta)5theta = 15 cdot 1 = 15

Resposta

O limite é .

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