Calcule os seguintes limites : lim x pi(x-pi) cdot sen(1x-pi)

Passo 1

Então, temos que calcular o limite de quando se aproxima de . Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites e propriedades das funções trigonométricas, especialmente o comportamento da função seno. Vamos precisar entender como fatores que tendem a zero interagem com funções oscilatórias como o seno.

Passo 2

Primeiro, vamos observar que quando se aproxima de , a expressão tende a zero. Isso significa que estamos multiplicando algo que está ficando bem pequeno por .

Passo 3

Agora, vamos analisar o que acontece com . Conforme se aproxima de , tende a zero, então tende ao infinito. A função seno, , oscila sempre entre -1 e 1, independente de crescer sem limites.

Passo 4

Então, temos um produto onde um fator está tendendo a zero e outro fator está oscilando entre -1 e 1. Como o fator que está tendendo a zero está multiplicando algo que não cresce sem limites (seno está limitado), o produto inteiro vai tender a zero.

Passo 5

Para formalizar isso, sabemos que . Portanto, podemos escrever:
Como |(x - pi) cdot sen(1x - pi)| <= |x - pi| cdot 1 = |x - pi| tende a zero quando tende a , pelo Teorema do Aperto (ou Teorema Squeeze), o limite de também tende a zero.

Resposta

Exercícios relacionados