Calcule os seguintes limites :
Passo 1
Então, temos que calcular o limite de quando
se aproxima de
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites e propriedades das funções trigonométricas, especialmente o comportamento da função seno. Vamos precisar entender como fatores que tendem a zero interagem com funções oscilatórias como o seno.
Passo 2
Primeiro, vamos observar que quando
se aproxima de
, a expressão
tende a zero. Isso significa que estamos multiplicando algo que está ficando bem pequeno por .
Passo 3
Agora, vamos analisar o que acontece com . Conforme
se aproxima de
,
tende a zero, então
tende ao infinito. A função seno, , oscila sempre entre -1 e 1, independente de
crescer sem limites.
Passo 4
Então, temos um produto onde um fator
está tendendo a zero e outro fator está oscilando entre -1 e 1. Como o fator que está tendendo a zero está multiplicando algo que não cresce sem limites (seno está limitado), o produto inteiro vai tender a zero.
Passo 5
Para formalizar isso, sabemos que . Portanto, podemos escrever:
Como
tende a zero quando
tende a
, pelo Teorema do Aperto (ou Teorema Squeeze), o limite de também tende a zero.