Calcule os seguintes limites : lim x pi(x-pi) cdot sen(1x-pi)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O problema nos pede para calcular o limite de quando se aproxima de . Para isso, vamos usar conceitos de limites envolvendo funções trigonométricas e propriedades de funções limitadas.

Passo 2

Primeiro, observamos que quando , a expressão tende a 0. Então, temos algo do tipo , mas está oscilando entre -1 e 1 porque o seno de qualquer número está sempre nesse intervalo.

Passo 3

Sabemos que -1 <= sen(1x - pi) <= 1 sempre satisfaz -|x - pi| <= (x - pi) cdot sen(1x - pi) <= |x - pi| . Então, para nossa expressão:
Multiplicando todos os lados por (que é positivo próximo de ):

Passo 4

Agora, aplicamos o Teorema do Confronto (ou Teorema dos Gendarmen) que nos diz que se uma função está “presa” entre duas outras que têm o mesmo limite, então ela também tem esse limite. Sabemos que:
limx to pi -|x - pi| = 0 e limx to pi |x - pi| = 0
Portanto, pelo teorema:
limx to pi (x - pi) cdot sen(1x - pi) = 0

Resposta

O limite é igual a 0.

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