Calcule os seguintes limites :

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O problema nos pede para calcular o limite de quando se aproxima de . Para isso, vamos usar conceitos de limites envolvendo funções trigonométricas e propriedades de funções limitadas.

Passo 2

Primeiro, observamos que quando , a expressão tende a 0. Então, temos algo do tipo , mas está oscilando entre -1 e 1 porque o seno de qualquer número está sempre nesse intervalo.

Passo 3

Sabemos que sempre satisfaz . Então, para nossa expressão:
Multiplicando todos os lados por (que é positivo próximo de ):

Passo 4

Agora, aplicamos o Teorema do Confronto (ou Teorema dos Gendarmen) que nos diz que se uma função está “presa” entre duas outras que têm o mesmo limite, então ela também tem esse limite. Sabemos que:
Portanto, pelo teorema:

Resposta

O limite é igual a 0.

Exercícios relacionados

Obtenha os extremos absolutos de no intervalo .
Calcule e de modo que a função tenha um extremo relativo em (1,5).
Resolva as seguintes integrais:
Resolva as seguintes integrais: