Resolva as seguintes integrais: integral ln (x+1)x+1 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício está dentro do conteúdo de cálculo integral, especificamente usando o método de substituição. Para resolver, vamos precisar identificar uma parte da função que podemos substituir por outra variável para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para facilitar a integral. Vamos deixar . Isso vai simplificar o numerador da nossa fração.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de dudx = 1x + 1 em relação a du = 1x + 1 , dx , ou seja, . Sabemos que a derivada de é , então:
Isso significa que:

Passo 4

Vamos reescrever a nossa integral original em termos de integral ln(x + 1)x + 1 , dx = integral u , du e . Substituindo, temos:
Agora a integral está muito mais simples!

Passo 5

Integramos integral u , du = u^22 + C em relação a :
onde é a constante de integração.

Passo 6

Finalmente, substituímos u^22 + C = (ln(x + 1))^22 + C de volta pela expressão original em termos de :

Resposta

A integral de (ln(x + 1))^22 + C é:

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