Obtenha os extremos absolutos de f(x) = x^3 + x^2 - x + 1 no intervalo [-2, 1/2].

Passo 1

Então, temos que encontrar os extremos absolutos da função no intervalo . Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente como encontrar pontos críticos e avaliar a função nos pontos finais do intervalo.

Passo 2

Primeiro, vamos derivar a função para encontrar sua derivada, que nos ajudará a identificar os pontos críticos onde a função pode ter máximos ou mínimos. A derivada de é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os valores de onde a derivada é zero, ou seja, resolveremos a equação :

Passo 4

Para resolver essa equação quadrática, podemos usar a fórmula de Bhaskara. Calculando o discriminante ( ):

Passo 5

Agora, aplicamos a fórmula:
Isso nos dá duas soluções:

Passo 6

Agora, vamos verificar quais desses pontos estão dentro do intervalo . Vemos que e estão dentro do intervalo.

Passo 7

Para encontrar os extremos absolutos, precisamos avaliar a função nesses pontos críticos e também nos pontos finais do intervalo, ou seja, em e .

Passo 8

Vamos calcular , , e :

Passo 9

Comparando os valores encontrados:

Resposta

Os extremos absolutos da função no intervalo são:
  • Mínimo absoluto em com
  • Máximo absoluto em com

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