Calcule os seguintes limites

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O enunciado pede para calcular o limite quando tende ao infinito da função:
Vamos usar conceitos de limites de funções racionais onde comparamos os graus dos polinômios no numerador e no denominador. A gente vai precisar saber sobre graus de polinômios e como eles influenciam o comportamento da função quando cresce sem limite.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o grau do polinômio no numerador e no denominador. O grau de um polinômio é o maior expoente da variável .
  • No numerador: . O maior expoente é 4, então o grau é 4.
  • No denominador: . O maior expoente é 7, então o grau é 7.

Passo 3

Agora, vamos comparar os graus do numerador e do denominador:
  • Grau do numerador: 4
  • Grau do denominador: 7
Quando o grau do denominador é maior que o grau do numerador, o limite da função racional quando tende ao infinito é zero. Isso acontece porque o denominador cresce muito mais rápido que o numerador, fazendo com que a fração inteira se aproxime de zero.

Passo 4

Para deixar claro, vamos pensar em termos de crescimento. Conforme fica muito grande:
  • no denominador cresce muito mais rápido que no numerador.
  • Os outros termos com menores expoentes (como , , etc.) se tornam praticamente insignificantes comparados aos termos de maior grau.
Portanto, a fração inteira diminui à medida que aumenta, chegando a zero.

Resposta

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