Para quais valor de k a função f abaixo é contínua
f(x) = { -3x - (x + 2)k, se x >= 3; k^2 + x, se x <= 3 }

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função que muda de expressão dependendo se é maior ou igual a 3 ou menor ou igual a 3. Queremos descobrir para quais valores de essa função é contínua. Isso significa que não tem “quebra” no gráfico da função quando passa por 3. Para isso, vamos precisar usar conceitos de limites e continuidade de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o valor da função exatamente em . Olhando para a definição da função:
  • Para , .
  • Para , .
Como está incluído em ambas as partes, podemos calcular usando qualquer uma das expressões. Vamos usar a segunda:

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite da função quando se aproxima de 3 pela esquerda ( ) e pela direita ( ).
  • Limite pela esquerda ( ):
    Aqui usamos a expressão para :
  • Limite pela direita ( ):
    Aqui usamos a expressão para :

Passo 4

Para a função ser contínua em , os limites pela esquerda e pela direita devem ser iguais e também iguais ao valor da função em . Ou seja:

Passo 5

Vamos resolver a equação para encontrar :
Isso é uma equação quadrática. A gente pode tentar fatorar ou usar a fórmula de Bhaskara. Vamos usar a Bhaskara:
Onde , , e .
Calculando o discriminante:
Como o discriminante é negativo ( ), não existem soluções reais para essa equação.

Resposta

Não existe nenhum valor de que torne a função contínua em .

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