Determine
e
de maneira que
seja diferenciável,
(a)
(a)
Passo 1
Vamos lá! A gente tem uma função definida por partes:
A missão é encontrar os valores de
e
para que essa função seja diferenciável em
. Isso envolve garantir que a função seja contínua nesse ponto e que as suas derivadas à esquerda e à direita de 1 sejam iguais.
Passo 2
Primeiro, vamos garantir que a função seja contínua em
. Para isso, o limite da função quando
se aproxima de 1 pela esquerda deve ser igual ao limite pela direita e também ao valor da função em
.
Para
:
Então,
Para
:
Então,
Igualando os limites:
Passo 3
Agora, vamos garantir que a derivada da função seja a mesma pela esquerda e pela direita em
.
Primeiro, calculamos as derivadas de cada parte da função.
Para
:
Para
:
No ponto
:
Para que a função seja diferenciável, as derivadas devem ser iguais:
Resposta
Resolvendo as equações:
Da Equação 2:
Substituindo na Equação 1:
Portanto, os valores são
e
.