Determine e de maneira que seja diferenciável,
(a)

Passo 1

Vamos lá! A gente tem uma função definida por partes:
A missão é encontrar os valores de e para que essa função seja diferenciável em . Isso envolve garantir que a função seja contínua nesse ponto e que as suas derivadas à esquerda e à direita de 1 sejam iguais.

Passo 2

Primeiro, vamos garantir que a função seja contínua em . Para isso, o limite da função quando se aproxima de 1 pela esquerda deve ser igual ao limite pela direita e também ao valor da função em .
Para :
Então,
Para :
Então,
Igualando os limites:
çã

Passo 3

Agora, vamos garantir que a derivada da função seja a mesma pela esquerda e pela direita em .
Primeiro, calculamos as derivadas de cada parte da função.
Para :
Para :
No ponto :
Para que a função seja diferenciável, as derivadas devem ser iguais:
çã

Resposta

Resolvendo as equações:
Da Equação 2:
Substituindo na Equação 1:
Portanto, os valores são e .

Exercícios relacionados

Trace ou copie o gráfico da função dada. (Assuma que os eixos possuem escalas iguais.) Use, então, o método do Exemplo 1 para esboçar o gráfico de abaixo.
9.
Esboce, à mão, o gráfico da função , prestando particular atenção em como o gráfico cruza o eixo . Qual é a inclinação da reta tangente nesse ponto?
Calcule os seguintes limites:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
I)
m)
n)
o)
p)
q)
r)
s)
t)
Calcule os seguintes limites:
a)
b)
c)
d)