Determine a e b de maneira que f seja diferenciável,
(a) f(x) = { a*x + b se x < 1; 3*x^2 + x - 1 se x ≥ 1 }

Passo 1

Vamos lá! A gente tem uma função definida por partes:
A missão é encontrar os valores de e para que essa função seja diferenciável em . Isso envolve garantir que a função seja contínua nesse ponto e que as suas derivadas à esquerda e à direita de 1 sejam iguais.

Passo 2

Primeiro, vamos garantir que a função seja contínua em . Para isso, o limite da função quando se aproxima de 1 pela esquerda deve ser igual ao limite pela direita e também ao valor da função em .
Para :
Então,
Para :
Então,
Igualando os limites:
çã

Passo 3

Agora, vamos garantir que a derivada da função seja a mesma pela esquerda e pela direita em .
Primeiro, calculamos as derivadas de cada parte da função.
Para :
Para :
No ponto :
Para que a função seja diferenciável, as derivadas devem ser iguais:
çã

Resposta

Resolvendo as equações:
Da Equação 2:
Substituindo na Equação 1:
Portanto, os valores são e .

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