Determine
e
de maneira que
seja diferenciável,
(a)
(a)
Passo 1
Vamos lá! A gente tem uma função definida por partes:
A missão é encontrar os valores de
e
para que essa função seja diferenciável em
. Isso envolve garantir que a função seja contínua nesse ponto e que as suas derivadas à esquerda e à direita de 1 sejam iguais.
Passo 2
Primeiro, vamos garantir que a função seja contínua em
. Para isso, o limite da função quando
se aproxima de 1 pela esquerda deve ser igual ao limite pela direita e também ao valor da função em
.
Para
:
Então,
Para
:
Então,
Igualando os limites:
Passo 3
Agora, vamos garantir que a derivada da função seja a mesma pela esquerda e pela direita em
.
Primeiro, calculamos as derivadas de cada parte da função.
Para
:
Para
:
No ponto
:
Para que a função seja diferenciável, as derivadas devem ser iguais:
Resposta
Resolvendo as equações:
Da Equação 2:
Substituindo na Equação 1:
Portanto, os valores são
e
.
Exercícios relacionados
Trace ou copie o gráfico da função
dada. (Assuma que os eixos possuem escalas iguais.) Use, então, o método do Exemplo 1 para esboçar o gráfico de
abaixo.
9.
9.
Esboce, à mão, o gráfico da função
, prestando particular atenção em como o gráfico cruza o eixo
. Qual é a inclinação da reta tangente nesse ponto?
Calcule os seguintes limites:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
I)
m)
n)
o)
p)
q)
r)
s)
t)
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
I)
m)
n)
o)
p)
q)
r)
s)
t)
Calcule os seguintes limites:
a)
b)
c)
d)
a)
b)
c)
d)