Calcule os seguintes limites: lim x infty x^4+5 x^3-4 x-x^3+3 x+1

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular o limite de quando tende ao infinito. Esse é um exercício de Cálculo de Limites, mais especificamente lidando com funções racionais (que são frações onde o numerador e o denominador são polinômios). Para resolver isso, vamos olhar para os termos de maior grau nos polinômios, já que eles dominam o comportamento da função quando fica muito grande.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o grau dos polinômios no numerador e no denominador. No numerador, o termo de maior grau é , então o grau é 4. No denominador, o termo de maior grau é , então o grau é 3.

Passo 3

Quando calculamos o limite de uma fração de polinômios quando tende ao infinito, o comportamento é principalmente influenciado pelos termos de maior grau. Se o grau do numerador for maior que o do denominador, o limite tende a mais infinito ou menos infinito, dependendo dos coeficientes.

Passo 4

No nosso caso, o grau do numerador (4) é maior que o do denominador (3). Isso significa que, conforme x^4-x^3 = -x fica muito grande, a fração vai dominar o comportamento do limite. Simplificando essa fração, temos:

Passo 5

Agora, vamos analisar o que acontece com quando tende ao infinito. À medida que aumenta sem limites, vai se tornar cada vez mais negativo, ou seja, vai para .

Resposta

Portanto, o limite é limx infty x^4 + 5x^3 - 4x-x^3 + 3x + 1 = -infty .

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