Determine lim (x^2-3 x+2x^3-x^2), quando:
© x 2^+.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A gente precisa encontrar o valor de lim (x^2-3 x+2x^3-x^2) quando x se aproxima de 2 pela direita (ou seja, x 2^+). Para isso, vamos usar conceitos de limites e análise de funções polinomiais.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a expressão do limite: x^2-3 x+2x^3-x^2. Vamos tentar simplificar essa fração fatorando o numerador e o denominador. Fatorar ajuda a ver se há termos que cancelam, facilitando a avaliação do limite.

Passo 3

Começando pelo numerador: x^2 - 3x + 2. A gente procura dois números que multiplicados dão 2 e somados dão -3. Esses números são -1 e -2. Então, podemos fatorar o numerador assim:
x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2)

Passo 4

Agora, vamos fatorar o denominador: x^3 - x^2. Podemos tirar um fator comum de x^2:
x^3 - x^2 = x^2(x - 1)

Passo 5

Substituindo as fatorações na fração original, temos:
(x - 1)(x - 2)x^2(x - 1)
Aqui, vemos que (x - 1) aparece no numerador e no denominador, então podemos cancelar esses termos (desde que x neq 1, o que está ok porque estamos próximos de 2).

Passo 6

Após cancelar (x - 1), a fração simplifica para:
x - 2x^2
Agora, é mais fácil calcular o limite quando x se aproxima de 2.

Passo 7

Substituímos x por 2 na expressão simplificada:
2 - 22^2 = 04 = 0
Então, o limite é 0.

Resposta

limx to 2^+ (x^2-3 x+2x^3-x^2) = 0

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