9 pts Encontre a solução geral da equação:
y'' - 2y' + 2y = e^x / sen(x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado pede para encontrarmos a solução geral da equação:
Vamos precisar usar o conteúdo de equações diferenciais lineares de segunda ordem, especificamente resolvendo a parte homogênea e encontrando uma solução particular.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Para isso, vamos encontrar as raízes da equação característica. A equação característica é dada por:
Resolvendo essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
As raízes são complexas: e .

Passo 3

Com raízes complexas, a solução geral da equação homogênea é:
onde e . Então:
Aqui, e são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais (se forem dadas).

Passo 4

Agora, precisamos encontrar uma solução particular para a equação completa:
Observando o lado direito, vemos que a função não é uma solução padrão para aplicar o método dos coeficientes indeterminados ou variação de parâmetros de forma direta. A presença de complica a escolha da forma da solução particular.

Passo 5

Dado que o método dos coeficientes indeterminados é complicado aqui, vamos optar pela variação de parâmetros. Esse método nos ajuda a encontrar uma solução particular quando o lado direito não está na forma das soluções da homogênea.
A fórmula para a solução particular usando variação de parâmetros é:
onde e são soluções da homogênea, , e é o Wronskiano.

Passo 6

Primeiro, encontramos o Wronskiano das soluções homogêneas e :
Pois .

Passo 7

Agora, aplicamos a fórmula da variação de parâmetros:
Simplificando:
Isso reduz para:
Integrando:
Então, a solução particular é:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde e são constantes arbitrárias.

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