Encontre a solução geral da equação:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado pede pra encontrar a solução geral da equação:
Aqui estamos lidando com uma equação diferencial linear de segunda ordem. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução da equação homogênea e depois uma solução particular para a parte não homogênea (o lado direito da equação).
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é quando igualamos o lado direito a zero:
Para isso, usamos a equação característica. Substituímos
e obtemos:
Passo 3
Agora, vamos resolver a equação quadrática
. Podemos fatorar:
Então, as raízes são
e
.
Passo 4
Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 5
Agora, vamos encontrar uma solução particular (
) para a parte não homogênea
. Usamos o método dos coeficientes a determinar.
Como o termo do lado direito é
, e
já está na solução homogênea, precisamos multiplicar nossa tentativa de solução particular por
para evitar duplicação.
Passo 6
Assumimos que a solução particular tem a forma:
Onde
e
são constantes a serem encontradas.
Passo 7
Vamos calcular as derivadas de
:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Passo 8
Substituímos
,
e
na equação original:
Depois de substituir e simplificar, agrupamos os termos semelhantes para encontrar os valores de
e
.
Passo 9
Resolvendo as equações para
e
, encontramos:
Passo 10
Então, a solução particular é:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.
Exercícios relacionados
Calcule as derivadas sucessivas até a ordem
indicada.
Calcule os limites:
.
Calcule os seguintes limites:
(a)
(b)
(a)
(b)