Encontre a solução geral da equação:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado pede pra encontrar a solução geral da equação:
Aqui estamos lidando com uma equação diferencial linear de segunda ordem. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução da equação homogênea e depois uma solução particular para a parte não homogênea (o lado direito da equação).

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é quando igualamos o lado direito a zero:
Para isso, usamos a equação característica. Substituímos e obtemos:

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação quadrática . Podemos fatorar:
Então, as raízes são e .

Passo 4

Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
Onde e são constantes arbitrárias.

Passo 5

Agora, vamos encontrar uma solução particular ( ) para a parte não homogênea . Usamos o método dos coeficientes a determinar.
Como o termo do lado direito é , e já está na solução homogênea, precisamos multiplicar nossa tentativa de solução particular por para evitar duplicação.

Passo 6

Assumimos que a solução particular tem a forma:
Onde e são constantes a serem encontradas.

Passo 7

Vamos calcular as derivadas de :
Primeira derivada:
Segunda derivada:

Passo 8

Substituímos , e na equação original:
Depois de substituir e simplificar, agrupamos os termos semelhantes para encontrar os valores de e .

Passo 9

Resolvendo as equações para e , encontramos:

Passo 10

Então, a solução particular é:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde e são constantes arbitrárias.

Exercícios relacionados

Calcule as derivadas sucessivas até a ordem indicada.
Calcule os limites: .
Encontre a solução geral da equação:
Calcule os seguintes limites:
(a)
(b)