Calcule os seguintes limites
lim n infty n^2 e^-1n;

Passo 1

Vamos resolver o limite lim n infty n^2 e^-1n. Esse exercício pertence ao estudo de Limites de Sequências na Matemática, que nos ajuda a entender o comportamento das funções quando a variável se aproxima de um valor específico, neste caso, quando n tende ao infinito. Para resolver, vamos precisar entender como funções polinomiais e exponenciais se comportam quando suas variáveis crescem muito.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar cada parte da expressão n^2 e^-1n separadamente. Temos um termo polinomial n^2 e um termo exponencial e^-1n. Nosso objetivo é entender como cada um desses termos se comporta quando n cresce sem limites.

Passo 3

Vamos considerar o comportamento do termo exponencial e^-1n quando n tende ao infinito. Sabemos que, à medida que n aumenta, 1n se aproxima de 0. Logo, -1n também se aproxima de 0, e assim e^-1n se aproxima de e^0, que é igual a 1.

Passo 4

Agora, observamos o termo polinomial n^2. À medida que n tende ao infinito, n^2 cresce sem limites, ou seja, tende ao infinito. Sabemos que um termo que cresce ao quadrado tende muito mais rapidamente do que termos lineares ou constantes.

Passo 5

Multiplicando os dois termos analisados, temos n^2 times e^-1n approx n^2 times 1 = n^2. Como n^2 tende ao infinito quando n tende ao infinito, concluímos que o limite da expressão inteira também tende ao infinito.

Resposta

O limite lim n infty n^2 e^-1n é igual a +infty.

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