Escreva a fração decimal abaixo como: (a) Uma série infinita; (b) O quociente de dois inteiros:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício quer que a gente transforme o número decimal de duas maneiras:
(a) Como uma série infinita;
(b) Como o quociente de dois inteiros, ou seja, uma fração.
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouquinho de séries geométricas e como converter decimais periódicos em frações.

Passo 2

Parte (a): Escrevendo como uma série infinita
Primeiro, vamos olhar para o decimal . Isso significa que o “92” se repete infinitamente:
Podemos reescrever isso assim:
Aqui, cada termo é 1/100 do termo anterior. Isso é uma série geométrica onde:
  • O primeiro termo ( ) é .
  • A razão ( ) é .
A fórmula para a soma de uma série geométrica infinita é:
Então, nossa série infinita fica:

Passo 3

Parte (b): Convertendo para uma fração
Agora, vamos transformar em uma fração.
Chamamos esse número de :
Multiplicamos ambos os lados por 100 (porque o período tem 2 dígitos):
Agora, subtraímos a equação original ( ) da equação multiplicada:
Resolvendo para :

Resposta

(a)
(b)

Exercícios relacionados

Calcule os seguintes limites
;
Escreva a fração decimal abaixo como: (a) Uma série infinita; (b) O quociente de dois inteiros:
Escreva a fração decimal abaixo como: (a) Uma série infinita; (b) O quociente de dois inteiros:
Mostre que, se é uma sequência tal que , então . A recíproca é verdadeira?
Sugestão: Use que || e aplique o Teorema do Confronto.