Escreva a fração decimal abaixo como: (a) Uma série infinita; (b) O quociente de dois inteiros:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem que transformar a fração decimal de duas formas: (a) como uma série infinita e (b) como o quociente de dois números inteiros. Vamos precisar usar conceitos de sequências infinitas e propriedades de números decimais periódicos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a notação . Isso indica que o grupo de números “412” se repete infinitamente depois da vírgula. Então, podemos escrever:
Passo 3
Parte (a): Escrevendo como uma série infinita
Para expressar como uma série infinita, vamos identificar o padrão das casas decimais.
A primeira parte é (porque estamos três casas decimais para a direita da vírgula), a segunda é , a terceira é , e assim por diante.
Então, a série infinita fica:
Essa é uma série geométrica infinita onde cada termo é vezes o termo anterior.
Passo 4
Vamos formalizar isso usando a soma de uma série geométrica. A fórmula da soma de uma série geométrica infinita é:
Onde:
é o primeiro termo da série.
é a razão comum entre os termos.
No nosso caso:
Substituindo na fórmula:
Passo 5
Parte (b): Escrevendo como o quociente de dois inteiros
Agora, vamos transformar em uma fração simples, ou seja, o quociente de dois números inteiros.
Sabemos que para um decimal periódico puro como , a fração equivalente é:
úí
Aqui, a parte que se repete é “412”, que tem 3 dígitos. Então, colocamos “412” no numerador e “999” no denominador:
Resposta
(a) A fração decimal pode ser escrita como a série infinita .