Calcule os seguintes limites.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o limite . Esse exercício envolve o estudo de limites, uma parte fundamental do cálculo que nos ajuda a entender o comportamento de funções quando a variável se aproxima de um valor específico, neste caso, quando
tende ao infinito. Para resolver isso, vamos precisar entender como a função seno se comporta para ângulos muito pequenos e aplicar algumas propriedades de limites.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o que acontece com o argumento do seno quando
cresce. Temos
, e conforme
vai para o infinito,
se aproxima de 0. Então, estamos calculando o seno de um número que está ficando cada vez menor, tendendo a 0.
Passo 3
Agora, precisamos lembrar de uma aproximação muito útil para o seno de um ângulo pequeno. Para ângulos próximos de 0, podemos usar a seguinte aproximação:
Isso significa que, quando
é muito pequeno, o seno de
é aproximadamente igual a
em si.
Passo 4
Aplicando essa aproximação ao nosso limite, temos:
Portanto, o limite fica:
Passo 5
Agora, avaliamos o limite de
quando
tende ao infinito. Sabemos que, conforme
cresce,
fica cada vez menor, aproximando-se de 0.
Resposta
Portanto, o limite é: