Calcule os seguintes limites.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite . Esse exercício envolve o estudo de limites, uma parte fundamental do cálculo que nos ajuda a entender o comportamento de funções quando a variável se aproxima de um valor específico, neste caso, quando tende ao infinito. Para resolver isso, vamos precisar entender como a função seno se comporta para ângulos muito pequenos e aplicar algumas propriedades de limites.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o que acontece com o argumento do seno quando cresce. Temos , e conforme vai para o infinito, se aproxima de 0. Então, estamos calculando o seno de um número que está ficando cada vez menor, tendendo a 0.

Passo 3

Agora, precisamos lembrar de uma aproximação muito útil para o seno de um ângulo pequeno. Para ângulos próximos de 0, podemos usar a seguinte aproximação:
Isso significa que, quando é muito pequeno, o seno de é aproximadamente igual a em si.

Passo 4

Aplicando essa aproximação ao nosso limite, temos:
Portanto, o limite fica:

Passo 5

Agora, avaliamos o limite de quando tende ao infinito. Sabemos que, conforme cresce, fica cada vez menor, aproximando-se de 0.

Resposta

Portanto, o limite é:

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Escreva a fração decimal abaixo como: (a) Uma série infinita; (b) O quociente de dois inteiros:
Calcule os seguintes limites
Escreva a fração decimal abaixo como: (a) Uma série infinita; (b) O quociente de dois inteiros:
Calcule os seguintes limites
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