Escreva a fração decimal abaixo como: (a) Uma série infinita; (b) O quociente de dois inteiros:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que precisamos fazer aqui é converter a fração decimal de duas maneiras diferentes: primeiro, como uma série infinita, e segundo, como o quociente de dois inteiros (ou seja, uma fração). Para isso, vamos usar conceitos de séries matemáticas e frações periódicas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma série infinita. Uma série infinita é uma soma que continua indefinidamente. No nosso caso, queremos expressar a parte repetitiva da decimal como uma soma infinita de termos que seguem um padrão.

Passo 3

Observando a decimal , percebemos que o número 34 se repete infinitamente após o 21. Podemos separar a parte não repetitiva (0,21) da parte repetitiva (0,00343434···).

Passo 4

Vamos focar na parte repetitiva: . Essa parte pode ser escrita como uma série infinita onde cada termo é dividido por uma potência de 100 (já que a repetição começa após duas casas decimais):

Passo 5

Podemos expressar isso de forma geral como:
Isso significa que estamos somando dividido por para cada valor de de 1 até o infinito.

Passo 6

Agora, juntando com a parte não repetitiva, que é 0,21 (ou ), temos a série infinita completa para :

Passo 7

Agora, vamos converter a decimal para o quociente de dois inteiros. Para isso, usamos a técnica de multiplicação por potências de 10 para eliminar a parte repetitiva.

Passo 8

Seja . Multiplicando ambos os lados por 1000 (já que a repetição ocorre a cada duas casas decimais):

Passo 9

Agora, subtraímos da equação acima para eliminar a parte repetitiva:

Passo 10

Resolvendo para :
Para eliminar a vírgula, multiplicamos numerador e denominador por 1000:
Simplificando a fração dividindo numerador e denominador pelo maior divisor comum, que é 1 (neste caso):

Resposta

(a) Como uma série infinita:
(b) Como o quociente de dois inteiros:

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Escreva a fração decimal abaixo como: (a) Uma série infinita; (b) O quociente de dois inteiros:
Calcule os seguintes limites
;
Mostre que, se é uma sequência tal que , então . A recíproca é verdadeira?
Sugestão: Use que || e aplique o Teorema do Confronto.
Calcule os seguintes limites
.