Escreva a fração decimal abaixo como: (a) Uma série infinita; (b) O quociente de dois inteiros:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que precisamos fazer aqui é converter a fração decimal de duas maneiras diferentes: primeiro, como uma série infinita, e segundo, como o quociente de dois inteiros (ou seja, uma fração). Para isso, vamos usar conceitos de séries matemáticas e frações periódicas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma série infinita. Uma série infinita é uma soma que continua indefinidamente. No nosso caso, queremos expressar a parte repetitiva da decimal como uma soma infinita de termos que seguem um padrão.
Passo 3
Observando a decimal , percebemos que o número 34 se repete infinitamente após o 21. Podemos separar a parte não repetitiva (0,21) da parte repetitiva (0,00343434···).
Passo 4
Vamos focar na parte repetitiva: . Essa parte pode ser escrita como uma série infinita onde cada termo é dividido por uma potência de 100 (já que a repetição começa após duas casas decimais):
Passo 5
Podemos expressar isso de forma geral como:
Isso significa que estamos somando dividido por para cada valor de de 1 até o infinito.
Passo 6
Agora, juntando com a parte não repetitiva, que é 0,21 (ou ), temos a série infinita completa para :
Passo 7
Agora, vamos converter a decimal para o quociente de dois inteiros. Para isso, usamos a técnica de multiplicação por potências de 10 para eliminar a parte repetitiva.
Passo 8
Seja . Multiplicando ambos os lados por 1000 (já que a repetição ocorre a cada duas casas decimais):
Passo 9
Agora, subtraímos da equação acima para eliminar a parte repetitiva:
Passo 10
Resolvendo para :
Para eliminar a vírgula, multiplicamos numerador e denominador por 1000:
Simplificando a fração dividindo numerador e denominador pelo maior divisor comum, que é 1 (neste caso):