Calcule os seguintes limites
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente precisa calcular o limite de
quando
vai para o infinito. Aqui estamos lidando com cálculo de limites e trigonometria, especificamente com funções trigonométricas e comportamento de funções quando a variável cresce sem limites.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que quando
fica muito grande,
fica muito pequeno, quase zero. Então, estamos olhando para o cosseno de um número bem pequeno. Sabemos que
, e para valores próximos de zero, podemos usar a aproximação da série de Taylor para o cosseno:
onde
é próximo de 0.
Passo 3
Aplicando essa aproximação no nosso caso, temos:
Agora, substituímos isso na expressão original do limite:
Passo 4
Vamos analisar cada termo separadamente:
- O primeiro termo
cresce sem limite conforme vai para o infinito. - O segundo termo
diminui e se aproxima de zero quando aumenta.
Passo 5
Então, combinando esses resultados:
Isso significa que a expressão inteira cresce sem limite à medida que
se torna muito grande.
Resposta
O limite é
.
Exercícios relacionados
Se você aceitar o fato de que a sequência
converge para
, então de acordo com nossa definição, para todo
existe um natural
, tal que
, quando
. Em cada parte, encontre o menor valor de
para o valor de
dado:
©
©
Seja
uma sequência tal que
O limite
existe? Se sim, qual seu valor?
Escreva a fração decimal abaixo como: (a) Uma série infinita; (b) O quociente de dois inteiros:
Calcule os seguintes limites.