Calcule os seguintes limites

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente precisa calcular o limite de quando vai para o infinito. Aqui estamos lidando com cálculo de limites e trigonometria, especificamente com funções trigonométricas e comportamento de funções quando a variável cresce sem limites.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que quando fica muito grande, fica muito pequeno, quase zero. Então, estamos olhando para o cosseno de um número bem pequeno. Sabemos que , e para valores próximos de zero, podemos usar a aproximação da série de Taylor para o cosseno:
onde é próximo de 0.

Passo 3

Aplicando essa aproximação no nosso caso, temos:
Agora, substituímos isso na expressão original do limite:

Passo 4

Vamos analisar cada termo separadamente:
  • O primeiro termo cresce sem limite conforme vai para o infinito.
  • O segundo termo diminui e se aproxima de zero quando aumenta.

Passo 5

Então, combinando esses resultados:
Isso significa que a expressão inteira cresce sem limite à medida que se torna muito grande.

Resposta

O limite é .

Exercícios relacionados

Se você aceitar o fato de que a sequência converge para , então de acordo com nossa definição, para todo existe um natural , tal que , quando . Em cada parte, encontre o menor valor de para o valor de dado:
©
Seja uma sequência tal que
O limite existe? Se sim, qual seu valor?
Escreva a fração decimal abaixo como: (a) Uma série infinita; (b) O quociente de dois inteiros:
Calcule os seguintes limites.