Calcule os seguintes limites
lim n infty n cos 1n

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente precisa calcular o limite de quando vai para o infinito. Aqui estamos lidando com cálculo de limites e trigonometria, especificamente com funções trigonométricas e comportamento de funções quando a variável cresce sem limites.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que quando cos(x) approx 1 - x^22 fica muito grande, fica muito pequeno, quase zero. Então, estamos olhando para o cosseno de um número bem pequeno. Sabemos que , e para valores próximos de zero, podemos usar a aproximação da série de Taylor para o cosseno:
onde é próximo de 0.

Passo 3

Aplicando essa aproximação no nosso caso, temos:
cos(1n) approx 1 - 12n^2
Agora, substituímos isso na expressão original do limite:
n cos(1n) approx n (1 - 12n^2) = n - 12n

Passo 4

Vamos analisar cada termo separadamente:
  • O primeiro termo cresce sem limite conforme vai para o infinito.
  • O segundo termo diminui e se aproxima de zero quando aumenta.

Passo 5

Então, combinando esses resultados:
n - 12n approx n quando n infty
Isso significa que a expressão inteira cresce sem limite à medida que se torna muito grande.

Resposta

O limite é .

Exercícios relacionados