Seja uma sequência tal que
O limite existe? Se sim, qual seu valor?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos apresenta uma sequência que está limitada entre duas expressões:
Queremos saber se o limite existe e, se sim, qual é o seu valor. Para resolver isso, vamos usar o Teorema do Confronto (também conhecido como Teorema do Aperto), que nos ajuda a encontrar limites de sequências quando elas estão “presas” entre duas outras sequências cujo limite conhecemos.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar as expressões que limitam . Comecemos com o lado esquerdo:
Quando tende ao infinito, tende a 0, então:

Passo 3

Agora, vamos simplificar o lado direito:
À medida que cresce, também tende a 0. Assim:

Passo 4

Então, temos que:
E sabendo que ambos os limites laterais são iguais a 1 quando tende ao infinito, podemos aplicar o Teorema do Confronto. Esse teorema diz que se está entre duas sequências que convergem para o mesmo limite, então também converge para esse limite.

Resposta

Sim, o limite existe e é igual a 1.

Exercícios relacionados

Mostre que
Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.
;
Se você aceitar o fato de que a sequência converge para , então de acordo com nossa definição, para todo existe um natural , tal que , quando . Em cada parte, encontre o menor valor de para o valor de dado:
©
Calcule os seguintes limites