Seja
uma sequência tal que
O limite
existe? Se sim, qual seu valor?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos apresenta uma sequência
que está limitada entre duas expressões:
Queremos saber se o limite
existe e, se sim, qual é o seu valor. Para resolver isso, vamos usar o Teorema do Confronto (também conhecido como Teorema do Aperto), que nos ajuda a encontrar limites de sequências quando elas estão “presas” entre duas outras sequências cujo limite conhecemos.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar as expressões que limitam
. Comecemos com o lado esquerdo:
Quando
tende ao infinito,
tende a 0, então:
Passo 3
Agora, vamos simplificar o lado direito:
À medida que
cresce,
também tende a 0. Assim:
Passo 4
Então, temos que:
E sabendo que ambos os limites laterais são iguais a 1 quando
tende ao infinito, podemos aplicar o Teorema do Confronto. Esse teorema diz que se
está entre duas sequências que convergem para o mesmo limite, então
também converge para esse limite.
Resposta
Sim, o limite
existe e é igual a 1.
Exercícios relacionados
Mostre que
Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.
;
Se você aceitar o fato de que a sequência
converge para
, então de acordo com nossa definição, para todo
existe um natural
, tal que
, quando
. Em cada parte, encontre o menor valor de
para o valor de
dado:
©
©
Calcule os seguintes limites