Seja (an)n in N uma sequência tal que
n-1n <= an <= raizn^2+1n^2, para todo n in N
O limite lim n infty an existe? Se sim, qual seu valor?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos apresenta uma sequência n-1n <= an <= raizn^2+1n^2 que está limitada entre duas expressões:
Queremos saber se o limite existe e, se sim, qual é o seu valor. Para resolver isso, vamos usar o Teorema do Confronto (também conhecido como Teorema do Aperto), que nos ajuda a encontrar limites de sequências quando elas estão “presas” entre duas outras sequências cujo limite conhecemos.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar as expressões que limitam n-1n = 1 - 1n . Comecemos com o lado esquerdo:
limn to infty n-1n = 1
Quando tende ao infinito, tende a 0, então:

Passo 3

Agora, vamos simplificar o lado direito:
raizn^2+1n^2 = raiz1 + 1n^2
À medida que limn to infty raiz1 + 1n^2 = raiz1 = 1 cresce, também tende a 0. Assim:

Passo 4

Então, temos que:
1 - 1n <= an <= raiz1 + 1n^2
E sabendo que ambos os limites laterais são iguais a 1 quando tende ao infinito, podemos aplicar o Teorema do Confronto. Esse teorema diz que se está entre duas sequências que convergem para o mesmo limite, então também converge para esse limite.

Resposta

Sim, o limite existe e é igual a 1.

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