Se você aceitar o fato de que a sequência converge para , então de acordo com nossa definição, para todo existe um natural , tal que , quando . Em cada parte, encontre o menor valor de para o valor de dado:
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Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício trata da convergência de sequências, que é um tópico de cálculo. A gente sabe que a sequência se aproxima de um limite quando aumenta. A definição de limite diz que, para qualquer , existe um número natural tal que, para todo , a diferença entre e seja menor que . Nosso desafio aqui é encontrar o menor quando .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Substituindo os valores que temos:

Passo 3

Vamos simplificar a expressão dentro do valor absoluto:
Então:

Passo 4

Agora, vamos resolver a desigualdade :
Calculando o lado direito:

Passo 5

Isolando :
Como deve ser um número natural, o menor valor que satisfaz essa condição é .

Resposta

O menor valor de para é 1000.

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Calcule os seguintes limites
Escreva a fração decimal abaixo como: (a) Uma série infinita; (b) O quociente de dois inteiros: