Se você aceitar o fato de que a sequência a_n = n / (n + 1) converge para L=1, então de acordo com nossa definição, para todo epsilon > 0 existe um natural n0 > 1, tal que |a_n - L| < epsilon, quando n ≥ n0. Em cada parte, encontre o menor valor de n0 para o valor de epsilon dado:
© epsilon = 0.001

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício trata da convergência de sequências, que é um tópico de cálculo. A gente sabe que a sequência se aproxima de um limite quando aumenta. A definição de limite diz que, para qualquer , existe um número natural tal que, para todo , a diferença entre e seja menor que . Nosso desafio aqui é encontrar o menor quando .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Substituindo os valores que temos:

Passo 3

Vamos simplificar a expressão dentro do valor absoluto:
Então:

Passo 4

Agora, vamos resolver a desigualdade :
Calculando o lado direito:

Passo 5

Isolando :
Como deve ser um número natural, o menor valor que satisfaz essa condição é .

Resposta

O menor valor de para é 1000.

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