Escreva a fração decimal abaixo como: (a) Uma série infinita; (b) O quociente de dois inteiros:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente escrever a fração decimal
de duas maneiras diferentes:
a) Como uma série infinita;
b) Como o quociente de dois inteiros.
a) Como uma série infinita;
b) Como o quociente de dois inteiros.
Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma fração decimal periódica e como podemos convertê-la em uma série ou em uma fração simples.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma série infinita. Uma série infinita é a soma de infinitos termos que seguem um padrão. No caso de
, o número é 0.333…, onde o 3 se repete para sempre.
Passo 3
Para escrever
como uma série infinita, observamos que cada 3 está em uma posição decimal diferente multiplicada por potências de 10. Assim, podemos expressar o número como:
Passo 4
Agora, reconhecemos que essa é uma série geométrica, onde cada termo é um múltiplo do anterior por uma razão comum. Neste caso, a razão é
, porque cada termo é 10 vezes menor que o anterior.
Passo 5
A soma de uma série geométrica infinita pode ser calculada usando a fórmula:
onde
é o primeiro termo e
é a razão da série.
Passo 6
Aplicando a fórmula à nossa série:
Passo 7
Portanto,
pode ser escrito como a fração
.
Passo 8
Resumindo:
a) Como uma série infinita:
b) Como o quociente de dois inteiros:
Resposta
a)
b)
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Calcule os seguintes limites
Se você aceitar o fato de que a sequência
converge para
, então de acordo com nossa definição, para todo
existe um natural
, tal que
, quando
. Em cada parte, encontre o menor valor de
para o valor de
dado:
©
©
Calcule os seguintes limites.
Escreva a fração decimal abaixo como: (a) Uma série infinita; (b) O quociente de dois inteiros: