Escreva a fração decimal abaixo como: (a) Uma série infinita; (b) O quociente de dois inteiros:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente escrever a fração decimal de duas maneiras diferentes:
a) Como uma série infinita;
b) Como o quociente de dois inteiros.
Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma fração decimal periódica e como podemos convertê-la em uma série ou em uma fração simples.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma série infinita. Uma série infinita é a soma de infinitos termos que seguem um padrão. No caso de , o número é 0.333…, onde o 3 se repete para sempre.

Passo 3

Para escrever como uma série infinita, observamos que cada 3 está em uma posição decimal diferente multiplicada por potências de 10. Assim, podemos expressar o número como:

Passo 4

Agora, reconhecemos que essa é uma série geométrica, onde cada termo é um múltiplo do anterior por uma razão comum. Neste caso, a razão é , porque cada termo é 10 vezes menor que o anterior.

Passo 5

A soma de uma série geométrica infinita pode ser calculada usando a fórmula:
onde é o primeiro termo e é a razão da série.

Passo 6

Aplicando a fórmula à nossa série:

Passo 7

Portanto, pode ser escrito como a fração .

Passo 8

Resumindo:
a) Como uma série infinita:
b) Como o quociente de dois inteiros:

Resposta

a)
b)

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Se você aceitar o fato de que a sequência converge para , então de acordo com nossa definição, para todo existe um natural , tal que , quando . Em cada parte, encontre o menor valor de para o valor de dado:
©
Calcule os seguintes limites.
Escreva a fração decimal abaixo como: (a) Uma série infinita; (b) O quociente de dois inteiros: