Calcule os seguintes limites
.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer é calcular o limite quando tende ao infinito de . Isso está relacionado ao cálculo de limites envolvendo funções logarítmicas e como elas se comportam quando a variável cresce sem parar. Para resolver isso, vamos precisar entender como o logaritmo funciona e como multiplicar funções que crescem (ou decrescem) no infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro do logaritmo. Sabemos que:
Então, a expressão original fica:

Passo 3

Agora, precisamos calcular o limite de quando tende ao infinito. Vamos analisar cada parte:
  • cresce sem parar, ou seja, tende a .
  • também cresce conforme aumenta, mas de forma mais lenta comparado a .
Quando multiplicamos por , mesmo que cresça mais devagar, o produto ainda tende a .

Passo 4

Como a expressão é , estamos multiplicando por . Portanto, se tende a , tende a .

Resposta

O limite é .

Exercícios relacionados

Mostre que, se é uma sequência tal que , então . A recíproca é verdadeira?
Sugestão: Use que || e aplique o Teorema do Confronto.
Escreva a fração decimal abaixo como: (a) Uma série infinita; (b) O quociente de dois inteiros:
Encontre a série de Fourrier da função dada.
(b)
Determine as derivadas parciais de ordem das seguintes funções: