Calcule os seguintes limites
lim n infty n ln 1n.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer é calcular o limite quando tende ao infinito de . Isso está relacionado ao cálculo de limites envolvendo funções logarítmicas e como elas se comportam quando a variável cresce sem parar. Para resolver isso, vamos precisar entender como o logaritmo funciona e como multiplicar funções que crescem (ou decrescem) no infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro do logaritmo. Sabemos que:
ln 1n = ln 1 - ln n = 0 - ln n = -ln n
Então, a expressão original fica:
n ln 1n = n cdot (-ln n) = -n ln n

Passo 3

Agora, precisamos calcular o limite de quando tende ao infinito. Vamos analisar cada parte:
  • cresce sem parar, ou seja, tende a .
  • também cresce conforme aumenta, mas de forma mais lenta comparado a .
Quando multiplicamos por , mesmo que cresça mais devagar, o produto ainda tende a .

Passo 4

Como a expressão é , estamos multiplicando por . Portanto, se tende a , tende a .

Resposta

O limite é .

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