Encontre a série de Fourrier da função dada.
(b)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício de encontrar a série de Fourier para a função dada. A função é periódica com período
e está definida assim:
Vamos precisar usar os conceitos de séries de Fourier para funções periódicas, especificamente para funções que são pares, ímpares ou têm lados definidos como nessa função.
Passo 2
Primeiro, identificamos que a função
é periódica com período
. Isso é importante porque as séries de Fourier são usadas para expressar funções periódicas como somas de senos e cossenos.
Passo 3
Como a função não é par nem ímpar, vamos usar a forma geral da série de Fourier, que inclui tanto termos de cosseno (que são pares) quanto de seno (que são ímpares):
Passo 4
Vamos calcular o coeficiente
, que representa a média da função no intervalo:
Como
de
a
e
de
a
, temos:
Passo 5
Agora, vamos calcular os coeficientes
para os termos de cosseno:
Como
de
a
e
de
a
, a integral fica:
Integrando:
Então, todos os
são zero.
Passo 6
Agora, vamos calcular os coeficientes
para os termos de seno:
Novamente, como
de
a
e
de
a
, temos:
Integrando:
Sabendo que
e que
, temos:
Resposta
A série de Fourier da função
é dada por:
Exercícios relacionados
Calcule os seguintes limites
.
Mostre que, se
é uma sequência tal que
, então
. A recíproca é verdadeira?
Sugestão: Use que || e aplique o Teorema do Confronto.
Sugestão: Use que ||
Determine as derivadas parciais de
ordem das seguintes funções:
Seja
. Calcule: