Encontre a série de Fourrier da função dada.
(b) f(x) = { 1, se -L <= x < 0; 0, se 0 <= x < L }, f(x + 2 L) = f(x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício de encontrar a série de Fourier para a função dada. A função é periódica com período e está definida assim:
Vamos precisar usar os conceitos de séries de Fourier para funções periódicas, especificamente para funções que são pares, ímpares ou têm lados definidos como nessa função.

Passo 2

Primeiro, identificamos que a função é periódica com período . Isso é importante porque as séries de Fourier são usadas para expressar funções periódicas como somas de senos e cossenos.

Passo 3

Como a função não é par nem ímpar, vamos usar a forma geral da série de Fourier, que inclui tanto termos de cosseno (que são pares) quanto de seno (que são ímpares):

Passo 4

Vamos calcular o coeficiente , que representa a média da função no intervalo:
Como de a e de a , temos:

Passo 5

Agora, vamos calcular os coeficientes para os termos de cosseno:
Como de a e de a , a integral fica:
Integrando:
Então, todos os são zero.

Passo 6

Agora, vamos calcular os coeficientes para os termos de seno:
Novamente, como de a e de a , temos:
Integrando:
Sabendo que e que , temos:

Resposta

A série de Fourier da função é dada por:

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