Mostre que, se
é uma sequência tal que
, então
. A recíproca é verdadeira?
Sugestão: Use que ||
e aplique o Teorema do Confronto.
Sugestão: Use que ||
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma sequência
que converge para um número
. Queremos mostrar que a sequência dos módulos
também converge para
. Além disso, precisamos verificar se o contrário também é verdadeiro. Para resolver isso, vamos usar o Teorema do Confronto e algumas propriedades dos valores absolutos.
Passo 2
Sabemos que se
, então a sequência
se aproxima cada vez mais de
conforme
cresce. Precisamos relacionar isso com os módulos
e
.
Passo 3
Vamos usar a propriedade dos valores absolutos que nos diz que:
Isso significa que a diferença entre os módulos de
e
é sempre menor ou igual à diferença entre
e
.
Passo 4
Como
, sabemos que
. Então, a diferença
fica cada vez menor, chegando a zero.
Passo 5
Aplicando o Teorema do Confronto (ou Teorema dos Três), que afirma que se uma sequência está “presa” entre duas outras sequências que convergem para o mesmo limite, então ela também converge para esse limite. Aqui, temos:
E já vimos que
. Portanto, pelo Teorema do Confronto:
O que significa que:
Passo 6
Agora, vamos verificar se a recíproca é verdadeira. Ou seja, se
, então será que
?
Vamos pensar em um exemplo:
Considere . Então,
para todo
, então
. Porém,
não existe se
, pois a sequência oscila entre
e
.
Considere
Resposta
Sim, se
, então
. Porém, a recíproca não é verdadeira em geral.