Mostre que, se é uma sequência tal que , então . A recíproca é verdadeira?
Sugestão: Use que || e aplique o Teorema do Confronto.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma sequência que converge para um número . Queremos mostrar que a sequência dos módulos também converge para . Além disso, precisamos verificar se o contrário também é verdadeiro. Para resolver isso, vamos usar o Teorema do Confronto e algumas propriedades dos valores absolutos.
Passo 2
Sabemos que se , então a sequência se aproxima cada vez mais de conforme cresce. Precisamos relacionar isso com os módulos e .
Passo 3
Vamos usar a propriedade dos valores absolutos que nos diz que:
Isso significa que a diferença entre os módulos de e é sempre menor ou igual à diferença entre e .
Passo 4
Como , sabemos que . Então, a diferença fica cada vez menor, chegando a zero.
Passo 5
Aplicando o Teorema do Confronto (ou Teorema dos Três), que afirma que se uma sequência está “presa” entre duas outras sequências que convergem para o mesmo limite, então ela também converge para esse limite. Aqui, temos:
E já vimos que . Portanto, pelo Teorema do Confronto:
O que significa que:
Passo 6
Agora, vamos verificar se a recíproca é verdadeira. Ou seja, se , então será que ?
Vamos pensar em um exemplo:
Considere . Então, para todo , então . Porém, não existe se , pois a sequência oscila entre e .
Resposta
Sim, se , então . Porém, a recíproca não é verdadeira em geral.