Mostre que, se (an)n in N é uma sequência tal que lim n infty an=a, então lim n infty|an|=|a|. A recíproca é verdadeira?
Sugestão: Use que || an|-| a|| <=|an-a| e aplique o Teorema do Confronto.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma sequência que converge para um número . Queremos mostrar que a sequência dos módulos também converge para . Além disso, precisamos verificar se o contrário também é verdadeiro. Para resolver isso, vamos usar o Teorema do Confronto e algumas propriedades dos valores absolutos.

Passo 2

Sabemos que se , então a sequência se aproxima cada vez mais de conforme cresce. Precisamos relacionar isso com os módulos e .

Passo 3

Vamos usar a propriedade dos valores absolutos que nos diz que:
|,|an| - |a|,| <= |an - a|
Isso significa que a diferença entre os módulos de e é sempre menor ou igual à diferença entre e .

Passo 4

Como , sabemos que . Então, a diferença fica cada vez menor, chegando a zero.

Passo 5

Aplicando o Teorema do Confronto (ou Teorema dos Três), que afirma que se uma sequência está “presa” entre duas outras sequências que convergem para o mesmo limite, então ela também converge para esse limite. Aqui, temos:
0 <= |,|an| - |a|,| <= |an - a|
E já vimos que limn to infty |,|an| - |a|,| = 0 . Portanto, pelo Teorema do Confronto:
limn to infty |an| = |a|
O que significa que:

Passo 6

Agora, vamos verificar se a recíproca é verdadeira. Ou seja, se , então será que ?
Vamos pensar em um exemplo:
Considere . Então, para todo , então . Porém, não existe se , pois a sequência oscila entre e .

Resposta

Sim, se , então . Porém, a recíproca não é verdadeira em geral.

Exercícios relacionados