Escreva a fração decimal abaixo como: (a) Uma série infinita; (b) O quociente de dois inteiros: …
Passo 1
Beleza, a gente precisa transformar o número decimal em duas formas diferentes: primeiro, como uma série infinita; segundo, como o quociente de dois números inteiros. Para isso, vamos usar conceitos de frações decimais, séries geométricas e propriedades de números racionais.
Passo 2
Vamos começar escrevendo como uma série infinita. O número significa que o dígito 7 se repete infinitamente após a vírgula. Então, podemos decompor esse número da seguinte forma:
Aqui, cada termo da série adiciona um 7 após a vírgula, diminuindo o valor por potências de 10.
Passo 3
Observando a série que montamos, percebemos que é uma série geométrica. Uma série geométrica é uma soma de termos onde cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por uma razão constante . No nosso caso:
O primeiro termo é .
A razão é , já que cada termo é 10 vezes menor que o anterior.
A soma de uma série geométrica infinita é dada pela fórmula:
Substituindo os valores que temos:
Resposta
Portanto, o número decimal pode ser escrito como a série infinita: