Escreva a fração decimal abaixo como: (a) Uma série infinita; (b) O quociente de dois inteiros:

Passo 1

Beleza, a gente precisa transformar o número decimal em duas formas diferentes: primeiro, como uma série infinita; segundo, como o quociente de dois números inteiros. Para isso, vamos usar conceitos de frações decimais, séries geométricas e propriedades de números racionais.

Passo 2

Vamos começar escrevendo como uma série infinita. O número significa que o dígito 7 se repete infinitamente após a vírgula. Então, podemos decompor esse número da seguinte forma:
Aqui, cada termo da série adiciona um 7 após a vírgula, diminuindo o valor por potências de 10.

Passo 3

Observando a série que montamos, percebemos que é uma série geométrica. Uma série geométrica é uma soma de termos onde cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por uma razão constante . No nosso caso:
  • O primeiro termo é .
  • A razão é , já que cada termo é 10 vezes menor que o anterior.
A soma de uma série geométrica infinita é dada pela fórmula:
Substituindo os valores que temos:

Resposta

Portanto, o número decimal pode ser escrito como a série infinita:
E também como o quociente de dois inteiros:

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Escreva a fração decimal abaixo como: (a) Uma série infinita; (b) O quociente de dois inteiros:
Calcule os seguintes limites.
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