Calcule os seguintes limites.
;
Passo 1
Vamos calcular o limite de
. Esse exercício envolve o estudo de limites de funções que combinam raízes e funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar entender como cada parte da expressão se comporta quando
cresce sem limites, ou seja, tende ao infinito.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a expressão dentro da raiz:
. Quando
é muito grande, os termos de maior grau dominam. Nesse caso,
é muito maior que
, então podemos simplificar
.
Passo 3
Agora, vamos tirar a raiz quadrada dessa aproximação:
. Isso mostra que, conforme
cresce, a parte da raiz da expressão tende a zero, já que
cresce sem limites.
Passo 4
Em seguida, observamos a função
. Sabemos que o seno de qualquer número está sempre entre -1 e 1, ou seja,
para todo
.
Passo 5
Então, combinando as duas partes, temos
. Sabemos que
tende a zero e
está limitado. Quando multiplicamos um número que tende a zero por algo que está limitado, o produto também tende a zero.
Resposta
Portanto,
.
Exercícios relacionados
Usando os teoremas acima e supondo que uma sequência
é tal que
, calcule os seguintes limites:
©
©
Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.
Usando os teoremas acima e supondo que uma sequência
é tal que
, calcule os seguintes limites:
(h)
(h)
Determine o termo geral da sequência
e calcule seu limite