Usando os teoremas acima e supondo que uma sequência é tal que , calcule os seguintes limites:
(h)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular o limite de uma expressão envolvendo uma raiz enésima de um produto. Especificamente, temos que encontrar:
Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de limites de sequências e propriedades de potências e produtos. Precisaremos entender como lidar com produtos dentro de uma raiz e aplicar propriedades de logaritmos para simplificar.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever o produto dentro da raiz de uma forma mais manejável. Observamos que temos termos multiplicados, cada um na forma , onde varia de 1 a . Então podemos expressar o produto como:
Passo 3
Agora, vamos dividir cada termo do produto por para facilitar a análise:
Isso porque . Assim, o produto inteiro fica multiplicado por .
Passo 4
Aplicando a raiz enésima, temos:
Aqui, utilizamos a propriedade de que .
Passo 5
Agora, vamos analisar o comportamento do termo quando tende ao infinito. Para isso, podemos usar propriedades de logaritmos:
À medida que cresce, essa soma se aproxima de uma integral:
Passo 6
Calculando a integral, temos:
Isso resulta em um valor finito. Portanto, o termo tende a , onde a constante é finita.
Passo 7
Voltando à expressão principal:
Como tende ao infinito e é um número finito, o produto total tende ao infinito.