Usando os teoremas acima e supondo que uma sequência é tal que , calcule os seguintes limites:
(h)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular o limite de uma expressão envolvendo uma raiz enésima de um produto. Especificamente, temos que encontrar:
Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de limites de sequências e propriedades de potências e produtos. Precisaremos entender como lidar com produtos dentro de uma raiz e aplicar propriedades de logaritmos para simplificar.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever o produto dentro da raiz de uma forma mais manejável. Observamos que temos termos multiplicados, cada um na forma , onde varia de 1 a . Então podemos expressar o produto como:

Passo 3

Agora, vamos dividir cada termo do produto por para facilitar a análise:
Isso porque . Assim, o produto inteiro fica multiplicado por .

Passo 4

Aplicando a raiz enésima, temos:
Aqui, utilizamos a propriedade de que .

Passo 5

Agora, vamos analisar o comportamento do termo quando tende ao infinito. Para isso, podemos usar propriedades de logaritmos:
À medida que cresce, essa soma se aproxima de uma integral:

Passo 6

Calculando a integral, temos:
Isso resulta em um valor finito. Portanto, o termo tende a , onde a constante é finita.

Passo 7

Voltando à expressão principal:
Como tende ao infinito e é um número finito, o produto total tende ao infinito.

Resposta

O limite é infinito.

Exercícios relacionados

Calcule os seguintes limites.
;
Usando os teoremas acima e supondo que uma sequência é tal que , calcule os seguintes limites:
©
Determine o termo geral da sequência e calcule seu limite
Utilizando o Teorema do Confronto, calcule os seguinte limites:
(b)