Usando os teoremas acima e supondo que uma sequência an é tal que lim an=L in R, calcule os seguintes limites:
(h) lim raiz[n](3 n+1)(3 n+2) ldots(3 n+n)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular o limite de uma expressão envolvendo uma raiz enésima de um produto. Especificamente, temos que encontrar:
limn to infty raiz[n](3n + 1)(3n + 2) dots (3n + n)
Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de limites de sequências e propriedades de potências e produtos. Precisaremos entender como lidar com produtos dentro de uma raiz e aplicar propriedades de logaritmos para simplificar.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever o produto dentro da raiz de uma forma mais manejável. Observamos que temos prodk=1^n (3n + k) termos multiplicados, cada um na forma , onde varia de 1 a . Então podemos expressar o produto como:

Passo 3

Agora, vamos dividir cada termo do produto por prodk=1^n (3 + kn) cdot n^n para facilitar a análise:
Isso porque . Assim, o produto inteiro fica multiplicado por .

Passo 4

Aplicando a raiz enésima, temos:
raiz[n]n^n cdot prodk=1^n (3 + kn) = n cdot raiz[n]prodk=1^n (3 + kn)
Aqui, utilizamos a propriedade de que .

Passo 5

Agora, vamos analisar o comportamento do termo ln(raiz[n]prodk=1^n (3 + kn)) = 1n sumk=1^n ln(3 + kn) quando 1n sumk=1^n ln(3 + kn) approx integral0^1 ln(3 + x) , dx tende ao infinito. Para isso, podemos usar propriedades de logaritmos:
À medida que cresce, essa soma se aproxima de uma integral:

Passo 6

Calculando a integral, temos:
integral0^1 ln(3 + x) , dx = (3 + x)ln(3 + x) - (3 + x) |0^1 = (4ln4 - 4) - (3ln3 - 3)
Isso resulta em um valor finito. Portanto, o termo tende a , onde a constante é finita.

Passo 7

Voltando à expressão principal:
n cdot raiz[n]prodk=1^n (3 + kn) approx n cdot e^constante
Como tende ao infinito e é um número finito, o produto total tende ao infinito.

Resposta

O limite é infinito.
limn to infty raiz[n](3n +1)(3n+2) ldots(3n+n) = +infty

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