Usando os teoremas acima e supondo que uma sequência an é tal que lim an=L in R, calcule os seguintes limites:
© lim a1+a22+cdots+annln n

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o limite . Aqui, estamos lidando com sequências e limites, um tópico fundamental no cálculo. Sabemos que a sequência converge para algum número real . Para resolver isso, vamos usar propriedades de limites e séries.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a expressão do limite de forma mais compacta. A soma limn to infty sumk=1^n akkln n pode ser representada como . Então, o limite que queremos calcular é:

Passo 3

Sabemos que . Isso significa que, para valores grandes de , está muito próximo de . Então, podemos considerar que está aproximadamente quando é grande.

Passo 4

Agora, vamos aproximar a soma sumk=1^n akk approx L sumk=1^n 1k usando o fato de que para grandes . Assim, a soma fica aproximadamente:

Passo 5

A soma é conhecida como a série harmônica, que tem a aproximação , onde é a constante de Euler-Mascheroni. Porém, para o nosso limite, o termo constante não importa, então podemos simplificar para .

Passo 6

Substituindo essa aproximação na nossa expressão original, temos:
limn to infty L ln nln n = limn to infty L = L

Resposta

O limite é igual a .

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