Usando os teoremas acima e supondo que uma sequência
é tal que
, calcule os seguintes limites:
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o limite
. Aqui, estamos lidando com sequências e limites, um tópico fundamental no cálculo. Sabemos que a sequência
converge para algum número real
. Para resolver isso, vamos usar propriedades de limites e séries.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a expressão do limite de forma mais compacta. A soma
pode ser representada como
. Então, o limite que queremos calcular é:
Passo 3
Sabemos que
. Isso significa que, para valores grandes de
,
está muito próximo de
. Então, podemos considerar que
está aproximadamente
quando
é grande.
Passo 4
Agora, vamos aproximar a soma
usando o fato de que
para grandes
. Assim, a soma fica aproximadamente:
Passo 5
A soma
é conhecida como a série harmônica, que tem a aproximação
, onde
é a constante de Euler-Mascheroni. Porém, para o nosso limite, o termo constante não importa, então podemos simplificar para
.
Passo 6
Substituindo essa aproximação na nossa expressão original, temos:
Resposta
O limite é igual a
.
Exercícios relacionados
Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.
Se você aceitar o fato de que a sequência
converge para
, então de acordo com nossa definição, para todo
existe um natural
, tal que
, quando
. Em cada parte, encontre o menor valor de
para o valor de
dado:
(b)
(b)
Calcule os seguintes limites.
;
Usando os teoremas acima e supondo que uma sequência
é tal que
, calcule os seguintes limites:
(h)
(h)