Usando os teoremas acima e supondo que uma sequência é tal que , calcule os seguintes limites:
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Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o limite . Aqui, estamos lidando com sequências e limites, um tópico fundamental no cálculo. Sabemos que a sequência converge para algum número real . Para resolver isso, vamos usar propriedades de limites e séries.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a expressão do limite de forma mais compacta. A soma pode ser representada como . Então, o limite que queremos calcular é:

Passo 3

Sabemos que . Isso significa que, para valores grandes de , está muito próximo de . Então, podemos considerar que está aproximadamente quando é grande.

Passo 4

Agora, vamos aproximar a soma usando o fato de que para grandes . Assim, a soma fica aproximadamente:

Passo 5

A soma é conhecida como a série harmônica, que tem a aproximação , onde é a constante de Euler-Mascheroni. Porém, para o nosso limite, o termo constante não importa, então podemos simplificar para .

Passo 6

Substituindo essa aproximação na nossa expressão original, temos:

Resposta

O limite é igual a .

Exercícios relacionados

Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.
Se você aceitar o fato de que a sequência converge para , então de acordo com nossa definição, para todo existe um natural , tal que , quando . Em cada parte, encontre o menor valor de para o valor de dado:
(b)
Calcule os seguintes limites.
;
Usando os teoremas acima e supondo que uma sequência é tal que , calcule os seguintes limites:
(h)