Determine o termo geral da sequência
e calcule seu limite
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma sequência que começa com 0,9; 0,99; 0,999; e assim por diante. O assunto aqui é sobre sequências numéricas e termo geral. Para resolver isso, vamos precisar identificar uma fórmula que descreva qualquer termo da sequência e depois calcular o limite dessa sequência quando o número de termos cresce indefinidamente.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar com calma os termos da sequência:
- 1º termo: 0,9
- 2º termo: 0,99
- 3º termo: 0,999
- …
Percebe que cada termo adiciona um 9 a mais na parte decimal.
Passo 3
Para encontrar o termo geral, precisamos expressar esse padrão de forma matemática. Vamos reescrever os termos como frações:
- 0,9 = 9/10
- 0,99 = 9/10 + 9/100
- 0,999 = 9/10 + 9/100 + 9/1000
- …
Passo 4
Observando isso, cada termo é a soma de frações decimais onde o numerador é sempre 9 e o denominador é uma potência de 10. Isso se parece com uma série geométrica onde cada termo seguinte é multiplicado por 1/10.
Passo 5
A soma de uma série geométrica finita pode ser calculada usando a fórmula:
Onde:
-
é o primeiro termo da série. -
é a razão da série. -
é o número de termos.
Passo 6
Aplicando os valores da nossa sequência:
Substituindo na fórmula:
Passo 7
Portanto, o termo geral da sequência é:
Resposta
O termo geral da sequência é
e o limite da sequência, quando
tende ao infinito, é 1.
Exercícios relacionados
Usando os teoremas acima e supondo que uma sequência
é tal que
, calcule os seguintes limites:
(h)
(h)
Calcule os seguintes limites.
;
Utilizando o Teorema do Confronto, calcule os seguinte limites:
(b)
(b)
Calcule os seguintes limites