Determine o termo geral da sequência e calcule seu limite

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma sequência que começa com 0,9; 0,99; 0,999; e assim por diante. O assunto aqui é sobre sequências numéricas e termo geral. Para resolver isso, vamos precisar identificar uma fórmula que descreva qualquer termo da sequência e depois calcular o limite dessa sequência quando o número de termos cresce indefinidamente.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar com calma os termos da sequência:
  • 1º termo: 0,9
  • 2º termo: 0,99
  • 3º termo: 0,999
Percebe que cada termo adiciona um 9 a mais na parte decimal.

Passo 3

Para encontrar o termo geral, precisamos expressar esse padrão de forma matemática. Vamos reescrever os termos como frações:
  • 0,9 = 9/10
  • 0,99 = 9/10 + 9/100
  • 0,999 = 9/10 + 9/100 + 9/1000

Passo 4

Observando isso, cada termo é a soma de frações decimais onde o numerador é sempre 9 e o denominador é uma potência de 10. Isso se parece com uma série geométrica onde cada termo seguinte é multiplicado por 1/10.

Passo 5

A soma de uma série geométrica finita pode ser calculada usando a fórmula:
Onde:
  • é o primeiro termo da série.
  • é a razão da série.
  • é o número de termos.

Passo 6

Aplicando os valores da nossa sequência:
Substituindo na fórmula:

Passo 7

Portanto, o termo geral da sequência é:

Resposta

O termo geral da sequência é e o limite da sequência, quando tende ao infinito, é 1.

Exercícios relacionados

Usando os teoremas acima e supondo que uma sequência é tal que , calcule os seguintes limites:
(h)
Calcule os seguintes limites.
;
Utilizando o Teorema do Confronto, calcule os seguinte limites:
(b)
Calcule os seguintes limites