Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para determinar se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, precisamos encontrar o limite. Para isso, vamos utilizar conceitos de limites de sequências e analisar o comportamento das funções envolvidas, como a função seno e as funções exponenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para o numerador da nossa sequência: . Sabemos que o seno de qualquer número real está sempre entre -1 e 1. Portanto, estará sempre entre 0 e 1, ou seja:
Passo 3
Agora, vamos analisar o denominador:
. Essa é uma função exponencial com base 3, e sabemos que, à medida que
aumenta,
cresce muito rapidamente, indo para o infinito.
Passo 4
Com isso, observamos que o numerador está limitado e não cresce, enquanto o denominador
cresce sem limites. Quando temos uma fração onde o denominador cresce muito mais rápido que o numerador, a fração inteira tende a zero.
Passo 5
Para formalizar isso, podemos aplicar o fato de que:
onde
é uma constante e
. No nosso caso,
é no máximo 1 e
, que satisfaz a condição.
Passo 6
Portanto, pelo comportamento dos termos, concluímos que a sequência converge para zero.
Resposta
A sequência converge e o limite é
.