Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para determinar se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, precisamos encontrar o limite. Para isso, vamos utilizar conceitos de limites de sequências e analisar o comportamento das funções envolvidas, como a função seno e as funções exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o numerador da nossa sequência: . Sabemos que o seno de qualquer número real está sempre entre -1 e 1. Portanto, estará sempre entre 0 e 1, ou seja:

Passo 3

Agora, vamos analisar o denominador: . Essa é uma função exponencial com base 3, e sabemos que, à medida que aumenta, cresce muito rapidamente, indo para o infinito.

Passo 4

Com isso, observamos que o numerador está limitado e não cresce, enquanto o denominador cresce sem limites. Quando temos uma fração onde o denominador cresce muito mais rápido que o numerador, a fração inteira tende a zero.

Passo 5

Para formalizar isso, podemos aplicar o fato de que:
onde é uma constante e . No nosso caso, é no máximo 1 e , que satisfaz a condição.

Passo 6

Portanto, pelo comportamento dos termos, concluímos que a sequência converge para zero.

Resposta

A sequência converge e o limite é .

Exercícios relacionados

Se você aceitar o fato de que a sequência converge para , então de acordo com nossa definição, para todo existe um natural , tal que , quando . Em cada parte, encontre o menor valor de para o valor de dado:
(b)
Investindo , 00 a uma taxa de juros de , capitalizados anualmente, depois de anos o montante será de
dólares.
Determine a quantidade de anos necessários para obter um montante de .
Usando os teoremas acima e supondo que uma sequência é tal que , calcule os seguintes limites:
©
Calcule os seguintes limites.
;