Calcule os seguintes limites: lim substackx 0 y 2 raiz(1+x)(y-2y^2-4)^2 x

Passo 1

Então, a gente tem que calcular o limite de uma função quando lim substackx 0 y 2 raiz(1+x)(y-2y^2-4)^2 x se aproxima de 0 e se aproxima de 2. A função é:
Vamos usar conceitos de limites em cálculo, principalmente como lidar com expressões complicadas que envolvem potências e raízes. Precisamos entender como cada parte da função se comporta quando e se aproximam dos valores dados.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da raiz. Note que y^2 - 4 = (y - 2)(y + 2) pode ser fatorado:
y - 2y^2 - 4 = y - 2(y - 2)(y + 2) = 1y + 2
Então, a fração fica:
raiz(1+x)(1y + 2)^2x
Isso simplifica nossa função para:

Passo 3

Agora, vamos analisar cada parte da expressão:
  1. : Quando se aproxima de 0, se aproxima de 1.
  2. : Aqui, temos uma potência com base que depende de e expoente que depende de .
Como se aproxima de 2, se aproxima de 4. Então, se aproxima de .

Passo 4

Agora, avaliaremos (14)^2x 1 quando x 0 quando se aproxima de 0.
Lembrando que qualquer número diferente de zero elevado a 0 é 1. Então:

Passo 5

Agora, juntando tudo:
(1 + x) 1 e (1y + 2)^2x 1
Então, dentro da raiz temos:
(1)(1) = 1
E a raiz quadrada de 1 é 1.

Resposta

lim substackx 0 y 2 raiz(1+x)(y-2y^2-4)^2 x = 1

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