Calcule os seguintes limites:

Passo 1

Então, a gente tem que calcular o limite de uma função quando se aproxima de 0 e se aproxima de 2. A função é:
Vamos usar conceitos de limites em cálculo, principalmente como lidar com expressões complicadas que envolvem potências e raízes. Precisamos entender como cada parte da função se comporta quando e se aproximam dos valores dados.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da raiz. Note que pode ser fatorado:
Então, a fração fica:
Isso simplifica nossa função para:

Passo 3

Agora, vamos analisar cada parte da expressão:
  1. : Quando se aproxima de 0, se aproxima de 1.
  2. : Aqui, temos uma potência com base que depende de e expoente que depende de .
Como se aproxima de 2, se aproxima de 4. Então, se aproxima de .

Passo 4

Agora, avaliaremos quando se aproxima de 0.
Lembrando que qualquer número diferente de zero elevado a 0 é 1. Então:

Passo 5

Agora, juntando tudo:
Então, dentro da raiz temos:
E a raiz quadrada de 1 é 1.

Resposta

Exercícios relacionados

Calcule os seguintes limites:
$\int_{0}^{1} \int_{0}^{z} \int_{0}^{y} z e{-y{2}} d x d y d z
Estude a continuidade da função .
Determine as derivadas parciais de: