Calcule os seguintes limites:
Passo 1
Então, a gente tem que calcular o limite de uma função quando
se aproxima de 0 e
se aproxima de 2. A função é:
Vamos usar conceitos de limites em cálculo, principalmente como lidar com expressões complicadas que envolvem potências e raízes. Precisamos entender como cada parte da função se comporta quando
e
se aproximam dos valores dados.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da raiz. Note que
pode ser fatorado:
Então, a fração fica:
Isso simplifica nossa função para:
Passo 3
Agora, vamos analisar cada parte da expressão:
-
: Quando se aproxima de 0, se aproxima de 1. -
: Aqui, temos uma potência com base que depende de e expoente que depende de .
Como
se aproxima de 2,
se aproxima de 4. Então,
se aproxima de
.
Passo 4
Agora, avaliaremos
quando
se aproxima de 0.
Lembrando que qualquer número diferente de zero elevado a 0 é 1. Então:
Passo 5
Agora, juntando tudo:
Então, dentro da raiz temos:
E a raiz quadrada de 1 é 1.
Resposta
Exercícios relacionados
Calcule os seguintes limites:
$\int_{0}^{1} \int_{0}^{z} \int_{0}^{y} z e{-y{2}} d x d y d z
Estude a continuidade da função
.
Determine as derivadas parciais de: