$\int_{0}^{1} \int_{0}^{z} \int_{0}^{y} z e{-y{2}} d x d y d z

Passo 1

Vamos resolver a integral tripla definida por
Esse problema envolve cálculo de integrais múltiplas, especificamente integrais triplas. Precisamos integrar a função em relação a , e nos limites dados.

Passo 2

Primeiro, vamos integrar em relação a . Observamos que a função integranda não depende de , então a integral em de 0 a é:

Passo 3

Agora, substituímos o resultado na integral dupla restante:
Vamos integrar em relação a . Para isso, usamos a substituição , então ou . A integral fica:

Passo 4

Substituímos esse resultado na integral final em relação a :
Vamos calcular cada parte separadamente:
  1. Primeira integral:
  2. Segunda integral:
    Para , fazemos a substituição , então ou . A integral fica:

Resposta

A integral vale .

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Suponha que um tanque contenha uma mistura de água e sal com um volume inicial 100 litros e 10 gramas de sal e que uma solução salina seja bombeada para dentro do tanque a uma taxa de 3 litros por minuto possuindo uma concentração de 1 grama de sal por litro. Suponha que a solução bem misturada sai a uma taxa de 2 litros por minuto.
(b) De qual valor se aproxima a concentração quando o tanque está enchendo, se a sua capacidade é de 200 litros?
Resolva as equações diferenciais. .
Calcule os seguintes limites:
Calcule os seguintes limites: