Calcule os seguintes limites:

Passo 1

Beleza, vamos calcular o limite de quando se aproxima de 0 e vai para o infinito. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos básicos de limites, especialmente envolvendo funções trigonométricas e exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na parte . Sabemos que quando está muito perto de 0, a seno de é aproximadamente igual a . Matematicamente, isso é expresso por:
Portanto, invertendo essa relação:
Então, essa parte do limite vai para 1 quando se aproxima de 0.

Passo 3

Agora, vamos analisar a expressão . Essa é uma forma clássica que conhecemos do cálculo exponencial. Sabemos que:
Onde é a base dos logaritmos naturais, aproximadamente 2,71828. Isso acontece porque, conforme cresce, a expressão se aproxima cada vez mais de .

Resposta

Multiplicando as duas partes que encontramos:
Então, o limite é .

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$\int_{0}^{1} \int_{0}^{z} \int_{0}^{y} z e{-y{2}} d x d y d z
Suponha que um tanque contenha uma mistura de água e sal com um volume inicial 100 litros e 10 gramas de sal e que uma solução salina seja bombeada para dentro do tanque a uma taxa de 3 litros por minuto possuindo uma concentração de 1 grama de sal por litro. Suponha que a solução bem misturada sai a uma taxa de 2 litros por minuto.
(b) De qual valor se aproxima a concentração quando o tanque está enchendo, se a sua capacidade é de 200 litros?
Calcule os seguintes limites:
Estude a continuidade da função .