Calcule os seguintes limites:
Passo 1
Beleza, vamos calcular o limite de quando
se aproxima de 0 e
vai para o infinito. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos básicos de limites, especialmente envolvendo funções trigonométricas e exponenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada na parte . Sabemos que quando
está muito perto de 0, a seno de
é aproximadamente igual a
. Matematicamente, isso é expresso por:
Portanto, invertendo essa relação:
Então, essa parte do limite vai para 1 quando
se aproxima de 0.
Passo 3
Agora, vamos analisar a expressão
. Essa é uma forma clássica que conhecemos do cálculo exponencial. Sabemos que:
Onde
é a base dos logaritmos naturais, aproximadamente 2,71828. Isso acontece porque, conforme
cresce, a expressão se aproxima cada vez mais de
.
Resposta
Multiplicando as duas partes que encontramos:
Então, o limite é
.