Calcule os seguintes limites: lim (x, y) (0,+infty) xsen x(1+1y)^y

Passo 1

Beleza, vamos calcular o limite de quando xsen x(1+1y)^y se aproxima de 0 e x vai para o infinito. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos básicos de limites, especialmente envolvendo funções trigonométricas e exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na parte . Sabemos que quando xsen x está muito perto de 0, a seno de x é aproximadamente igual a x. Matematicamente, isso é expresso por:
Portanto, invertendo essa relação:
Então, essa parte do limite vai para 1 quando x se aproxima de 0.

Passo 3

Agora, vamos analisar a expressão (1+1y)^y. Essa é uma forma clássica que conhecemos do cálculo exponencial. Sabemos que:
limy to +infty (1+1y)^y = e
Onde e é a base dos logaritmos naturais, aproximadamente 2,71828. Isso acontece porque, conforme y cresce, a expressão se aproxima cada vez mais de e.

Resposta

Multiplicando as duas partes que encontramos:
1 times e = e
Então, o limite é e.

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