Estude a continuidade da função .

Passo 1

Beleza, vamos estudar a continuidade da função . A matéria que vamos usar aqui é a continuidade de funções, que basicamente nos ajuda a entender onde a função está bem comportada, sem “saltos” ou “quebras”. Para resolver isso, vamos precisar analisar o denominador e garantir que ele não cause problemas, como divisão por zero ou radicais de números negativos.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada no denominador da função: . A raiz quadrada só está definida para números não negativos, ou seja, o que está dentro da raiz precisa ser maior ou igual a zero. Então, temos:
Isso garante que o denominador seja um número real. Além disso, queremos evitar que o denominador seja zero, porque dividir por zero não é permitido. Então, também precisamos que:

Passo 3

Agora, vamos reorganizar a desigualdade para facilitar a visualização:
Essa é a equação de uma esfera centrada na origem (0,0,0) com raio 3. O que isso significa é que a função está definida e contínua para todos os pontos dentro dessa esfera, mas não na superfície ou fora dela.

Passo 4

Além disso, o numerador da função é , que é um polinômio e, portanto, está sempre definido para todos os números reais. Então, o único ponto que precisamos nos preocupar é com o denominador.

Passo 5

Resumindo tudo isso, a função será contínua em todos os pontos onde o denominador não causa problemas, ou seja, dentro da esfera de raio 3. Fora dessa esfera, a função não está definida devido à raiz quadrada de um número negativo ou divisão por zero.

Resposta

A função é contínua para todos os pontos que satisfazem . Ou seja, a continuidade ocorre no interior da esfera de raio 3 centrada na origem.

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