Determine as derivadas parciais de:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de derivadas parciais juntos! A gente tem uma função
e precisamos encontrar as derivadas parciais dessa função em relação a
,
e
. Isso vai nos ajudar a entender como
muda quando a gente varia cada uma dessas variáveis enquanto mantém as outras constantes.
Passo 2
Vamos começar encontrando a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
Para derivar em relação a
, tratamos
e
como constantes. Vamos derivar cada termo da função:
-
: Aqui, é constante. A derivada de em relação a é , então o termo fica . -
: e são constantes. A derivada de é , então o termo fica . -
: e são constantes. A derivada de é , então o termo fica . -
: Não tem , então a derivada é 0. -
: Não tem , derivada 0. -
: Constante, derivada 0.
Agora, somando tudo:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
Dessa vez, tratamos
e
como constantes. Vamos derivar cada termo:
-
: Não tem , derivada 0. -
: e são constantes. A derivada de é , então o termo fica . -
: A derivada de é , então o termo fica . -
: A derivada de é , então o termo fica . -
: A derivada de é . -
: Constante, derivada 0.
Somando tudo:
Passo 4
Por fim, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
Aqui,
e
são constantes. Vamos derivar cada termo:
-
: A derivada de em relação a é . -
: A derivada de é . -
: A derivada de é . -
: A derivada de é . -
: Não tem , derivada 0. -
: Constante, derivada 0.
Somando tudo:
Resposta
As derivadas parciais da função
são:
Exercícios relacionados
Estude a continuidade da função
.
Calcule os seguintes limites:
Determine as equações do plano tangente e da normal à superfície
no ponto
.
Determine as derivadas parciais de: