Determine as derivadas parciais de:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de derivadas parciais juntos! A gente tem uma função e precisamos encontrar as derivadas parciais dessa função em relação a , e . Isso vai nos ajudar a entender como muda quando a gente varia cada uma dessas variáveis enquanto mantém as outras constantes.

Passo 2

Vamos começar encontrando a derivada parcial de em relação a , ou seja, .
Para derivar em relação a , tratamos e como constantes. Vamos derivar cada termo da função:
  1. : Aqui, é constante. A derivada de em relação a é , então o termo fica .
  2. : e são constantes. A derivada de é , então o termo fica .
  3. : e são constantes. A derivada de é , então o termo fica .
  4. : Não tem , então a derivada é 0.
  5. : Não tem , derivada 0.
  6. : Constante, derivada 0.
Agora, somando tudo:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , ou seja, .
Dessa vez, tratamos e como constantes. Vamos derivar cada termo:
  1. : Não tem , derivada 0.
  2. : e são constantes. A derivada de é , então o termo fica .
  3. : A derivada de é , então o termo fica .
  4. : A derivada de é , então o termo fica .
  5. : A derivada de é .
  6. : Constante, derivada 0.
Somando tudo:

Passo 4

Por fim, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , ou seja, .
Aqui, e são constantes. Vamos derivar cada termo:
  1. : A derivada de em relação a é .
  2. : A derivada de é .
  3. : A derivada de é .
  4. : A derivada de é .
  5. : Não tem , derivada 0.
  6. : Constante, derivada 0.
Somando tudo:

Resposta

As derivadas parciais da função são:

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Estude a continuidade da função .
Calcule os seguintes limites:
Determine as equações do plano tangente e da normal à superfície no ponto .
Determine as derivadas parciais de: