Calcule os seguintes limites: lim x 2-(12-x-38-x^3)

Passo 1

Vamos resolver o limite . Esse exercício está relacionado ao cálculo de limites em cálculo diferencial. Para resolver, vamos precisar entender como simplificar expressões algébricas e analisar o comportamento das funções quando se aproxima de um valor específico.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar combinar as frações em uma única expressão para facilitar a análise do limite. Para isso, precisamos encontrar um denominador comum. Observamos que pode ser fatorado.

Passo 3

A fatoração de 8 - x^3 = (2)^3 - x^3 = (2 - x)(4 + 2x + x^2) é possível usando a identidade de diferença de cubos:
38 - x^3 = 3(2 - x)(4 + 2x + x^2)
Então, podemos reescrever a segunda fração do limite como:

Passo 4

Agora, substituímos essa fatoração na expressão original do limite:
12 - x - 3(2 - x)(4 + 2x + x^2)
Para subtrair essas frações, usamos o denominador comum (4 + 2x + x^2) - 3(2 - x)(4 + 2x + x^2) = x^2 + 2x + 1(2 - x)(4 + 2x + x^2) :

Passo 5

Simplificamos o numerador:
x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2
Então, a expressão fica:
(x + 1)^2(2 - x)(4 + 2x + x^2)

Passo 6

Agora, analisamos o comportamento da função quando se aproxima de 2 pela esquerda ( ):
  • no ponto é .
  • quando se aproxima de 2 pela esquerda é um número muito pequeno e positivo, aproximando-se de 0.
  • no ponto é .

Passo 7

Substituindo na expressão do limite:
lim x 2^- 9(2 - x) times 12 = lim x 2^- 912(2 - x)
Como está se aproximando de 0 positivamente, tende a .

Resposta

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