Calcule os seguintes limites:

Passo 1

Vamos resolver o limite . Esse exercício está relacionado ao cálculo de limites em cálculo diferencial. Para resolver, vamos precisar entender como simplificar expressões algébricas e analisar o comportamento das funções quando se aproxima de um valor específico.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar combinar as frações em uma única expressão para facilitar a análise do limite. Para isso, precisamos encontrar um denominador comum. Observamos que pode ser fatorado.

Passo 3

A fatoração de é possível usando a identidade de diferença de cubos:
Então, podemos reescrever a segunda fração do limite como:

Passo 4

Agora, substituímos essa fatoração na expressão original do limite:
Para subtrair essas frações, usamos o denominador comum :

Passo 5

Simplificamos o numerador:
Então, a expressão fica:

Passo 6

Agora, analisamos o comportamento da função quando se aproxima de 2 pela esquerda ( ):
  • no ponto é .
  • quando se aproxima de 2 pela esquerda é um número muito pequeno e positivo, aproximando-se de 0.
  • no ponto é .

Passo 7

Substituindo na expressão do limite:
Como está se aproximando de 0 positivamente, tende a .

Resposta

Exercícios relacionados

Determine os seguintes limites:
(f) .
Calcule os seguintes Limites:
Esboce o gráfico da função:
(b) Existe ?