Calcule os seguintes limites:
Passo 1
Vamos resolver o limite
. Esse exercício está relacionado ao cálculo de limites em cálculo diferencial. Para resolver, vamos precisar entender como simplificar expressões algébricas e analisar o comportamento das funções quando
se aproxima de um valor específico.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar combinar as frações em uma única expressão para facilitar a análise do limite. Para isso, precisamos encontrar um denominador comum. Observamos que
pode ser fatorado.
Passo 3
A fatoração de
é possível usando a identidade de diferença de cubos:
Então, podemos reescrever a segunda fração do limite como:
Passo 4
Agora, substituímos essa fatoração na expressão original do limite:
Para subtrair essas frações, usamos o denominador comum
:
Passo 5
Simplificamos o numerador:
Então, a expressão fica:
Passo 6
Agora, analisamos o comportamento da função quando
se aproxima de 2 pela esquerda (
):
-
no ponto é . -
quando se aproxima de 2 pela esquerda é um número muito pequeno e positivo, aproximando-se de 0. -
no ponto é .
Passo 7
Substituindo na expressão do limite:
Como
está se aproximando de 0 positivamente,
tende a
.