Encontre o raio e a altura do cilindro circular reto de maior volume que pode ser inscrlto em um cone circular reto com raio de 6 in e altura de 10 in.

Passo 1

Beleza, vamos nessa! A questão pede pra gente encontrar o raio e a altura de um cilindro de maior volume que cabe dentro de um cone com raio de 6 polegadas e altura de 10 polegadas. A gente vai usar conhecimentos de geometria e um pouco de cálculo de otimização para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a situação. Imagine o cone com base de raio 6 e altura 10. Dentro dele, queremos encaixar um cilindro reto, com raio e altura , de maneira que o cilindro seja o maior possível em volume.

Passo 3

Para relacionar e , vamos usar semelhança de triângulos. O triângulo do cone e o triângulo formado pela altura do cone menos a altura do cilindro vão ser semelhantes.
Assim, temos:
Resolvendo para :

Passo 4

Agora, vamos expressar o volume do cilindro em função de . A fórmula do volume do cilindro é:
Substituindo pela expressão que encontramos:

Passo 5

Para achar o valor de que maximiza o volume, vamos derivar em relação a e igualar a zero.
Primeiro, expandindo o volume:
Derivando em relação a :
Igualando a zero para maximizar:
Multiplicando todos os termos por 25 para eliminar os denominadores:
Dividindo por 9:
Resolvendo a equação quadrática:
Assim, temos duas soluções:
í

Passo 6

Com polegadas, vamos encontrar usando a relação que obtivemos:

Resposta

O cilindro de maior volume inscrito no cone tem raio de 4 polegadas e altura de aproximadamente 3,33 polegadas.

Exercícios relacionados

Calcule os seguintes limites: (b) .
Calcule os seguintes limites: (a) .
Dada a função : (a) Determine os seus pontos de inflexão, pontos críticos e classifique-os quanto a máximos : mínimos locais e globais.
Dada a função : (b) Determine os intervalos de crescimento e decrescimento.