Encontre o raio e a altura do cilindro circular reto de maior volume que pode ser inscrlto em um cone circular reto com raio de 6 in e altura de 10 in.
Passo 1
Beleza, vamos nessa! A questão pede pra gente encontrar o raio
e a altura
de um cilindro de maior volume que cabe dentro de um cone com raio de 6 polegadas e altura de 10 polegadas. A gente vai usar conhecimentos de geometria e um pouco de cálculo de otimização para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a situação. Imagine o cone com base de raio 6 e altura 10. Dentro dele, queremos encaixar um cilindro reto, com raio
e altura
, de maneira que o cilindro seja o maior possível em volume.
Passo 3
Para relacionar
e
, vamos usar semelhança de triângulos. O triângulo do cone e o triângulo formado pela altura do cone menos a altura do cilindro vão ser semelhantes.
Assim, temos:
Resolvendo para
:
Passo 4
Agora, vamos expressar o volume
do cilindro em função de
. A fórmula do volume do cilindro é:
Substituindo
pela expressão que encontramos:
Passo 5
Para achar o valor de
que maximiza o volume, vamos derivar
em relação a
e igualar a zero.
Primeiro, expandindo o volume:
Derivando em relação a
:
Igualando a zero para maximizar:
Multiplicando todos os termos por 25 para eliminar os denominadores:
Dividindo por 9:
Resolvendo a equação quadrática:
Assim, temos duas soluções:
Passo 6
Com
polegadas, vamos encontrar
usando a relação que obtivemos:
Resposta
O cilindro de maior volume inscrito no cone tem raio de 4 polegadas e altura de aproximadamente 3,33 polegadas.
Exercícios relacionados
Calcule os seguintes limites: (b)
.
Calcule os seguintes limites: (a)
.
Dada a função
: (a) Determine os seus pontos de inflexão, pontos críticos e classifique-os quanto a máximos : mínimos locais e globais.
Dada a função
: (b) Determine os intervalos de crescimento e decrescimento.