Calcule os seguintes limites: lim x -1 x^2-1|x|-1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: lim x -1 x^2-1|x|-1. Aqui, estamos trabalhando com limites, que fazem parte do cálculo diferencial. Para resolver, vamos precisar entender como manipular expressões algébricas e lidar com valores absolutos.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o que acontece quando substituímos x = -1 diretamente na expressão. Isso vai nos ajudar a identificar se temos uma forma conhecida.

Passo 3

Substituindo x = -1 na expressão:
(-1)^2 - 1|-1| - 1 = 1 - 11 - 1 = 00
Isso resulta em uma forma indeterminada 00, o que significa que precisamos manipular a expressão para encontrar o limite.

Passo 4

Vamos simplificar o numerador x^2 - 1. Podemos fatorar isso como uma diferença de quadrados:
x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)
Agora, a expressão fica:
(x - 1)(x + 1)|x| - 1

Passo 5

Agora, precisamos considerar o comportamento de |x| quando x se aproxima de -1. O valor absoluto de x depende se x está se aproximando de -1 por valores maiores ou menores que -1.
  • Quando x se aproxima de -1 pela direita (valores maiores que -1):
    Nesse caso, |x| = -x, porque x é negativo próximo a -1. Substituindo:
    (x - 1)(x + 1)|x| - 1 = (x - 1)(x + 1)(-x) - 1
    Simplificando, aproximando x de -1:
    O limite tende a -2.
  • Quando x se aproxima de -1 pela esquerda (valores menores que -1):
    Aqui, |x| = -x também, mas com x menor que -1. Substituindo:
    (x - 1)(x + 1)|x| - 1 = (x - 1)(x + 1)(-x) - 1
    Simplificando, aproximando x de -1:
    O limite tende a 2.

Resposta

Como os limites laterais são diferentes ( -2 pela direita e 2 pela esquerda), o limite lim x -1 x^2-1|x|-1 não existe.

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