Calcule os seguintes limites: lim x 0 x^2 cos (7x)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular o limite de quando se aproxima de 0. Aqui, estamos lidando com limites envolvendo funções polinomiais ( ) e funções trigonométricas ( ). Para resolver isso, vamos precisar analisar como cada parte da função se comporta próximo de 0.

Passo 2

Vamos olhar para as duas partes da função separadamente. O termo é um polinômio simples que, quando se aproxima de 0, também se aproxima de 0. Já a função é uma função trigonométrica que oscila entre -1 e 1 para qualquer valor de diferente de zero.

Passo 3

Sabemos que a função cosseno sempre está entre -1 e 1, ou seja:
-1 <= cos(7x) <= 1
Multiplicando todos os termos dessa desigualdade por -x^2 <= x^2 cos(7x) <= x^2 (que é sempre positivo), temos:
Isso nos mostra que está “abraçado” entre e .

Passo 4

Agora, vamos calcular os limites das extremidades dessa desigualdade quando limx to 0 -x^2 = 0 e limx to 0 x^2 = 0 se aproxima de 0:
Ambos os limites são iguais a 0.

Passo 5

Como limx to 0 x^2 cos(7x) = 0 está entre duas funções que ambas tendem a 0 quando se aproxima de 0, pelo Teorema do Sanduíche (ou Teorema do Aperto), concluímos que:

Resposta

0

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