Calcule os seguintes limites:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular o limite de
quando
se aproxima de 0. Aqui, estamos lidando com limites envolvendo funções polinomiais (
) e funções trigonométricas (
). Para resolver isso, vamos precisar analisar como cada parte da função se comporta próximo de 0.
Passo 2
Vamos olhar para as duas partes da função separadamente. O termo
é um polinômio simples que, quando
se aproxima de 0, também se aproxima de 0. Já a função
é uma função trigonométrica que oscila entre -1 e 1 para qualquer valor de
diferente de zero.
Passo 3
Sabemos que a função cosseno sempre está entre -1 e 1, ou seja:
Multiplicando todos os termos dessa desigualdade por
(que é sempre positivo), temos:
Isso nos mostra que
está “abraçado” entre
e
.
Passo 4
Agora, vamos calcular os limites das extremidades dessa desigualdade quando
se aproxima de 0:
Ambos os limites são iguais a 0.
Passo 5
Como
está entre duas funções que ambas tendem a 0 quando
se aproxima de 0, pelo Teorema do Sanduíche (ou Teorema do Aperto), concluímos que: