Calcule os seguintes limites:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que o enunciado está pedindo é para calcular o limite de quando se aproxima de 0. Esse tipo de problema faz parte da matéria de Cálculo, mais especificamente do estudo de limites. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre funções exponenciais e como lidar com indeterminações usando a Regra de L’Hospital.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir por 0 diretamente na expressão para ver o que acontece:
A forma é uma indeterminação, ou seja, não sabemos o valor do limite só olhando assim. Quando nos deparamos com isso, uma ferramenta útil é a Regra de L’Hospital.

Passo 3

A Regra de L’Hospital diz que se o limite resulta em uma indeterminação do tipo ou , podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e calcular o limite novamente. Então, vamos aplicar essa regra aqui.
Primeiro, derivamos o numerador :
Depois, derivamos o denominador :

Passo 4

Agora, aplicamos a Regra de L’Hospital substituindo pela derivada do numerador e do denominador:
Vamos tentar substituir novamente:
Isso nos dá uma forma que tende ao infinito, já que estamos dividindo 1 por um número que se aproxima de 0.

Passo 5

Como o limite resultou em , que tende ao infinito positivo, concluímos que o limite original também tende ao infinito.

Resposta

O limite é igual ao infinito positivo.

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