Calcule os seguintes limites: lim x 0 e^x-1x^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que o enunciado está pedindo é para calcular o limite de e^x-1x^2 quando x se aproxima de 0. Esse tipo de problema faz parte da matéria de Cálculo, mais especificamente do estudo de limites. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre funções exponenciais e como lidar com indeterminações usando a Regra de L’Hospital.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir x por 0 diretamente na expressão para ver o que acontece:
e^0 - 10^2 = 1 - 10 = 00
A forma 00 é uma indeterminação, ou seja, não sabemos o valor do limite só olhando assim. Quando nos deparamos com isso, uma ferramenta útil é a Regra de L’Hospital.

Passo 3

A Regra de L’Hospital diz que se o limite f(x)g(x) resulta em uma indeterminação do tipo 00 ou inftyinfty, podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e calcular o limite novamente. Então, vamos aplicar essa regra aqui.
Primeiro, derivamos o numerador e^x - 1:
ddx(e^x - 1) = e^x
Depois, derivamos o denominador x^2:
ddx(x^2) = 2x

Passo 4

Agora, aplicamos a Regra de L’Hospital substituindo pela derivada do numerador e do denominador:
lim x 0 e^x2x
Vamos tentar substituir x = 0 novamente:
e^02 cdot 0 = 10
Isso nos dá uma forma que tende ao infinito, já que estamos dividindo 1 por um número que se aproxima de 0.

Passo 5

Como o limite resultou em 10, que tende ao infinito positivo, concluímos que o limite original também tende ao infinito.

Resposta

O limite lim x 0 e^x-1x^2 é igual ao infinito positivo.

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