Calcule os seguintes limites: lim x infty(1-4x)^x+2

Passo 1

Beleza, vamos calcular o limite . Esse problema está na área de cálculo de limites, mais especificamente lidando com funções exponenciais. Para resolver, vamos precisar entender como limites que envolvem potências e exponenciais funcionam, especialmente quando o expoente cresce sem limite junto com a base.

Passo 2

Primeiro, vamos observar a expressão (1 - 4x)^x times (1 - 4x)^2 . Para facilitar, podemos dividir o expoente em duas partes: e . Assim, reescrevemos a expressão como:

Passo 3

Agora, vamos analisar cada parte separadamente. Começando pela primeira parte limx to infty (1 + ax)^x = e^a . Aqui, usamos uma regra conhecida dos limites que diz:
limx to infty (1 - 4x)^x = e^-4
No nosso caso, , então:

Passo 4

Agora, vamos para a segunda parte limx to infty (1 - 4x)^2 = (1 - 0)^2 = 1 . Quando tende para infinito, tende para 0. Portanto:

Passo 5

Finalmente, juntando as duas partes que calculamos:
lim x infty(1-4x)^x+2 = e^-4 times 1 = e^-4

Resposta

O limite é .

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